Eldgammel Putnam

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Eldgammel Putnam

Innlegg Markus » 10/01-2019 18:45

La $a(x), b(x), c(x)$ og $d(x)$ være reelle polynomer. Vis at $(x-1)^4$ deler $$\int_1^x a(t)c(t) \, \text{d}t \cdot \int_1^x b(t)d(t) - \int_1^x a(t)d(t) \, \text{d}t \cdot \int_1^x b(t)c(t) \, \text{d}t$$
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 752
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Eldgammel Putnam

Innlegg Gustav » 10/01-2019 21:15

Markus skrev:La $a(x), b(x), c(x)$ og $d(x)$ være reelle polynomer. Vis at $(x-1)^4$ deler $$\int_1^x a(t)c(t) \, \text{d}t \cdot \int_1^x b(t)d(t) - \int_1^x a(t)d(t) \, \text{d}t \cdot \int_1^x b(t)c(t) \, \text{d}t$$


La $f(x)=\int_1^x a(t)c(t) \, \text{d}t \cdot \int_1^x b(t)d(t)\text{d}t - \int_1^x a(t)d(t) \, \text{d}t \cdot \int_1^x b(t)c(t) \, \text{d}t$

Ser at $f(1)=0$, så x-1 er en faktor.

$f'(x)= a(x)c(x)\cdot \int_1^x b(t)d(t)\text{d}t+b(x)d(x)\int_1^x a(t)c(t) \, \text{d}t-(a(x)d(x)\cdot \int_1^x b(t)c(t) \, \text{d}t+b(x)c(x)\int_1^x a(t)d(t) \, \text{d}t )$, så $f'(1)=0$.

Ser nå at vi ender opp med $f^{(n)}(1)=0$ for alle deriverte, dvs. at $(x-1)^k$ vil dele f(x) sålengde graden til f(x) er mindre eller lik k. Hvis f(x) har grad mindre enn 4 vil f(x) være identisk lik 0, så $(x-1)^4$ deler $f(x)$ åkke som.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4271
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Eldgammel Putnam

Innlegg Markus » 10/01-2019 22:51

Gustav skrev:La $f(x)=\int_1^x a(t)c(t) \, \text{d}t \cdot \int_1^x b(t)d(t)\text{d}t - \int_1^x a(t)d(t) \, \text{d}t \cdot \int_1^x b(t)c(t) \, \text{d}t$

Ser at $f(1)=0$, så x-1 er en faktor.

$f'(x)= a(x)c(x)\cdot \int_1^x b(t)d(t)\text{d}t+b(x)d(x)\int_1^x a(t)c(t) \, \text{d}t-(a(x)d(x)\cdot \int_1^x b(t)c(t) \, \text{d}t+b(x)c(x)\int_1^x a(t)d(t) \, \text{d}t )$, så $f'(1)=0$.


Flott, gjorde den nesten likt! Men dette
Ser nå at vi ender opp med $f^{(n)}(1)=0$ for alle deriverte, dvs. at $(x-1)^k$ vil dele f(x) sålengde graden til f(x) er mindre eller lik k. Hvis f(x) har grad mindre enn 4 vil f(x) være identisk lik 0, så $(x-1)^4$ deler $f(x)$ åkke som.
holder vel ikke noe lengre enn $n=3$? Dette er jo riktignok nok for å vise påstanden. Det er sant at $f'''(1)=0$, men hvis man deriverer en gang til så er $f^{(4)}(1)$ etter litt algebra lik $2(a'(1)b(1)c'(1)d(1) + a(1)b'(1)c(1)d'(1) - a'(1)b(1)c(1)d'(1) - a(1)b'(1)c'(1)d(1))$ som nødvendigvis ikke trenger å være lik null. La for eksempel $a(x)=x$, $b(x)=x^2$, $c(x)=x^3$ og $d(x)=x^4$, da fås $f^{(4)}(1) = 2$
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 752
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Eldgammel Putnam

Innlegg Gustav » 11/01-2019 03:15

Du har sikkert rett, jeg var litt slurvete og tok meg ikke tid til å regne ut de deriverte. Uansett vil løsningen fungere siden f'''(1)=0
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4271
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 6 gjester