Eldgammel Putnam

[Markus]

La $a(x),b(x),c(x)$ og $d(x)$ være reelle polynomer. Vis at $(x-1{)}^4$ deler $${\int }_1^{x}a(t)c(t)\text{d}t\cdot {\int }_1^{x}b(t)d(t)-{\int }_1^{x}a(t)d(t)\text{d}t\cdot {\int }_1^{x}b(t)c(t)\text{d}t$$

[Gustav]

La $a(x),b(x),c(x)$ og $d(x)$ være reelle polynomer. Vis at $(x-1{)}^4$ deler $${\int }_1^{x}a(t)c(t)\text{d}t\cdot {\int }_1^{x}b(t)d(t)-{\int }_1^{x}a(t)d(t)\text{d}t\cdot {\int }_1^{x}b(t)c(t)\text{d}t$$

La $f(x)={\int }_1^{x}a(t)c(t)\text{d}t\cdot {\int }_1^{x}b(t)d(t)\text{d}t-{\int }_1^{x}a(t)d(t)\text{d}t\cdot {\int }_1^{x}b(t)c(t)\text{d}t$

Ser at $f(1)=0$, så x-1 er en faktor.

$f^{\prime }(x)=a(x)c(x)\cdot {\int }_1^{x}b(t)d(t)\text{d}t+b(x)d(x){\int }_1^{x}a(t)c(t)\text{d}t-(a(x)d(x)\cdot {\int }_1^{x}b(t)c(t)\text{d}t+b(x)c(x){\int }_1^{x}a(t)d(t)\text{d}t)$, så $f^{\prime }(1)=0$.

Ser nå at vi ender opp med $f^{(n)}(1)=0$ for alle deriverte, dvs. at $(x-1{)}^k$ vil dele f(x) sålengde graden til f(x) er mindre eller lik k. Hvis f(x) har grad mindre enn 4 vil f(x) være identisk lik 0, så $(x-1{)}^4$ deler $f(x)$ åkke som.

[Markus]

La $f(x)={\int }_1^{x}a(t)c(t)\text{d}t\cdot {\int }_1^{x}b(t)d(t)\text{d}t-{\int }_1^{x}a(t)d(t)\text{d}t\cdot {\int }_1^{x}b(t)c(t)\text{d}t$

Ser at $f(1)=0$, så x-1 er en faktor.

$f^{\prime }(x)=a(x)c(x)\cdot {\int }_1^{x}b(t)d(t)\text{d}t+b(x)d(x){\int }_1^{x}a(t)c(t)\text{d}t-(a(x)d(x)\cdot {\int }_1^{x}b(t)c(t)\text{d}t+b(x)c(x){\int }_1^{x}a(t)d(t)\text{d}t)$, så $f^{\prime }(1)=0$.

Flott, gjorde den nesten likt! Men dette

Ser nå at vi ender opp med $f^{(n)}(1)=0$ for alle deriverte, dvs. at $(x-1{)}^k$ vil dele f(x) sålengde graden til f(x) er mindre eller lik k. Hvis f(x) har grad mindre enn 4 vil f(x) være identisk lik 0, så $(x-1{)}^4$ deler $f(x)$ åkke som.

holder vel ikke noe lengre enn $n=3$? Dette er jo riktignok nok for å vise påstanden. Det er sant at $f^{‴}(1)=0$, men hvis man deriverer en gang til så er $f^{(4)}(1)$ etter litt algebra lik $2(a^{\prime }(1)b(1)c^{\prime }(1)d(1)+a(1)b^{\prime }(1)c(1)d^{\prime }(1)-a^{\prime }(1)b(1)c(1)d^{\prime }(1)-a(1)b^{\prime }(1)c^{\prime }(1)d(1))$ som nødvendigvis ikke trenger å være lik null. La for eksempel $a(x)=x$, $b(x)=x^2$, $c(x)=x^3$ og $d(x)=x^4$, da fås $f^{(4)}(1)=2$

[Gustav]

Du har sikkert rett, jeg var litt slurvete og tok meg ikke tid til å regne ut de deriverte. Uansett vil løsningen fungere siden f'''(1)=0