Gjest skrev:Hvilken metode bruker man for å løse oppgave 8 og sånne oppgaver?
Det krever ikke noe mer enn 1T-algebra. Husk på konjugatsetningen $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$. Først skriver vi om
$$\begin{alignat*}{2} T &= 10^{320}-\sqrt{10^{640}-1} = (10^{320}-\sqrt{10^{640}-1}) \cdot 1 \\
&= (10^{320}-\sqrt{10^{640}-1}) \cdot \left(\frac{10^{320}-\sqrt{10^{640}-1}}{10^{320}-\sqrt{10^{640}-1}} \right) \\
&= \frac{(10^{320}-\sqrt{10^{640}-1})(10^{320}+\sqrt{10^{640}-1})}{10^{320}+\sqrt{10^{640}-1}} = \frac{(10^{320})^2-(\sqrt{10^{640}-1})^2}{10^{320}+\sqrt{10^{640}-1}} \\
&= \frac{1}{10^{320}+\sqrt{10^{640}-1}}
\end{alignat*}$$
Det er vanskelig å finne noe eksplisitt utifra dette, så vi må gjøre litt mer arbeid. Selvfølgelig vil $T$ bli større år nevneren blir mindre, og på samme måte så vil T bli mindre når nevneren blir større. Så siden $10^{320}+\sqrt{10^{640}-1}>10^{320}$ vil $\frac{1}{10^{320}} > T$. Siden $\sqrt{10^{640}-1} < \sqrt{10^{640}}=10^{320}$ så vil $10^{320}+\sqrt{10^{640}-1}<10^{320}+10^{320} = 2 \cdot 10^{320}$, og derfor vil $\frac{1}{2 \cdot 10^{320}} < T$. Nå har vi begrenset $T$ ovenifra og nedenifra så $T$ må ligge mellom en av disse verdiene. Altså har vi funnet ut at $$\frac{1}{10^{320}} > T > \frac{1}{2 \cdot 10^{320}}$$ Dette er det samme som $$10^{-320}>T>5 \cdot 10^{-321}$$ Vi trenger ikke å vite $T$ eksakt, vi trenger bare å vite hvor mange sammenhengende nuller som er bak komma. Med $10^{-1}$ er det $0$ sammenhengende nuller bak desimaltegnet, med $10^{-2}$ er det $1$, og med $10^{-3}$ er det $2$. Mønsteret er klart, så bak desimaltegnet til $10^{-320}$ er det $319$ nuller. I $5 \cdot 10^{-321}$ er det $320$ nuller. Siden $T$ er strengt mindre enn $10^{-320}$ så vil den ha $320$ nuller bak desimaltegnet. Hvis du ikke er overbevist over dette, se f.eks på $10^{-3}$ og velg hvilket som helst tall $0<a<1$. Da vil $10^{-3}a$ ha $3$ sammenhengende nuller bak desimaltegnet, imens $10^{-3}$ vil ha $2$. Siden $T$ er større enn $5 \cdot 10^{-321}$ kan den maks ha nettopp $320$ sammenhengende nuller bak desimaltegnet. Dette fullfører beviset vårt, og desimalfremstillingen av $T$ har altså $320$ sammenhengde nuller.
Som du ser krevde ikke dette noe som helst universitetspensum, men heller algebraisk fleksibilitet og kløktig tenking. Det eneste "pensumet" som er brukt er noe man fint kunne forventet en ungdomsskoleelev kan.