Abeloppgave

[Gustav]

Regnet gjennom årets runde.2-oppgaver i morges. Hva syns dere om oppgavene i år? Her er den jeg syns var mest utfordrende:

Hvor mange sammenhengende nuller etter desimaltegnet er det i desimalfremstillingen av $10^{320}-\sqrt{10^{640}-1}$

Noen som har noen alternative løsninger?

[Mattegjest offline]

Verktøy : ( 1 + [tex]\varepsilon[/tex])[tex]^{n}[/tex] [tex]\approx[/tex] 1 + n[tex]\cdot[/tex][tex]\varepsilon[/tex] gitt at [tex]\varepsilon[/tex][tex]< < < < < <[/tex] 1


Omformar uttrykket og får


10[tex]^{320}[/tex] - ( 10[tex]^{640}[/tex] - 1 )[tex]^{\frac{1}{2}}[/tex] = 10[tex]^{320}[/tex] - 10[tex]^{320}[/tex]( 1 - 10[tex]^{-640}[/tex] )[tex]^{\frac{1}{2}}[/tex] " brukar vrktøyet " = 10[tex]^{320}[/tex] - 10[tex]^{320}[/tex]( 1 - [tex]\frac{1}{2}\cdot[/tex]10[tex]^{-640}[/tex] = 0.5 [tex]\cdot[/tex]10[tex]^{-320}[/tex]

Svar: 320 samanhengande nullar bak desimalteiknet

[Markus]

Har selv regnet meg gjennom settet nå, og jeg synes egentlig oppgavene ikke var så ille i år. Her er en oppsummering av hva jeg synes om oppgavene:

Oppgave 1) Helt grei kombinatorikk. Fin første oppgave.
Oppgave 2) Denne var vel litt i enkleste laget?
Oppgave 3) Denne kunne like så godt stått som en oppgave i en 1T-bok? Det er sikkert dog noen mindre tidkrevende metoder for å løse den enn å sette opp å løse likningsystemet.
Oppgave 4) Denne likte jeg! Tallteori møter kombinatorikk.
Oppgave 5) Tja, litt usikker på hva jeg synes om denne. Var en fin oppgave, men en del arbeid. Hovedobservasjonen er vel egentlig å se at $T_{14}<2T_{10}$ og så gjøre casework for $n<10$.
Oppgave 6) Igjen en oppgave der tallteori møter kombinatorikk. Fin oppgave, likte denne også ganske godt.
Oppgave 7) Helt ok. Ikke noe magisk med den, men krever jo selvfølgelig litt kløktig tenking.
Oppgave 8) Jeg er enig i at denne var utfordrende, men allikevel synes jeg ikke den var veldig vanskelig. Jeg gjorde den ganske likt som LF: $T = 10^{320}-\sqrt{10^{640}-1} = \frac{(10^{320}-\sqrt{10^{640}-1})(10^{320}+\sqrt{10^{640}-1})}{(10^{320}+\sqrt{10^{640}-1})} = \frac{1}{10^{320}+\sqrt{10^{640}-1}}$. Deretter fant jeg ganske åpenbare bounds: $\frac{1}{10^{320}} = 10^{-320} > T > \frac{1}{2\cdot 10^{320}} = 5 \cdot 10^{-321}$. Siden $10^{-320}$ har $319$ nuller etter desimaltegnet, må alt som er mindre enn $10^{-320}$ ha minst $320$ nuller etter desimaltegnet, men vi har en bound nedenifra på $5\cdot 10^{-321}$ som nettopp har $320$ nuller etter desimaltegnet. Herifra følger konklusjonen.
Oppgave 9) Yay - enda mer tallteori! Denne oppgaven likte jeg godt. Riktignok ganske mye casework med denne.
Oppgave 10) Det første jeg tenkte når jeg leste denne oppgaven var hva i alle dager er et konvekst polyeder? Jeg synes man kan utelate ord som kan føre til forvirrelse. Nå kan det godt hende at dette er et ord man bør være kjent med, men hva vet nå jeg. Etter jeg fant ut av hva et konvekst polyeder var, var oppgaven såre enkel med Eulers formel og den simple observasjonen at sidene til de ulike figurene i polyederet deler side med nøyaktig en annen figur.

Jeg har generelt løst oppgavene ganske likt som LF, så ingen fancy løsninger fra min side dessverre. Sammenlignet med fjorårets runde 2 er runde 2 etter min mening ganske mye enklere i år. I tillegg er det ingen lureoppgaver (*kremt* oppgave 2 i fjor), som er gledelig å se! Det som slår meg er at geometri er omtrent helt utelatt fra denne runden. De få oppgavene der man kanskje måtte ta i bruk pitte litt geometri hadde jo omtrent ingen utfordrende geometri i seg. Det pleier også nesten alltid å være en oppgave som omhandler følger, men det var heller ingen av disse i år. Det ser ut som at det har blitt lagt mest vekt på tallteori, kombinatorikk og algebra i år, og det kan godt hende at det er en baktanke med dette ift. IMO osv.

Hva synes dere Gustav og mattegjest?

[Mattegjest offline]

Alternativ(generalisert) løysing: Resultatet i mitt førre innlegg kan vi også kome fram til ved å rekkeutvikle

uttrykket [tex]\sqrt{1 + x}[/tex].


[tex]\sqrt{1 + x }[/tex] = ( 1 + x )[tex]^{\frac{1}{2}}[/tex] = 1 + [tex]\frac{1}{2}x[/tex] - [tex]\frac{1}{2\cdot 4}x^{2}[/tex]+ [tex]\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}x^{3}[/tex] - ……… + (-1 )[tex]^{n-1}[/tex][tex]\frac{(2n - 3)!!}{(2n)!!}x^{n}[/tex] + R[tex]_{n}[/tex]( x ) , der restleddet R[tex]_{n}[/tex]( x ) [tex]\rightarrow[/tex] 0 gitt at [tex]\left | x \right |[/tex] < 1

[Gustav]

Enig angående oppgave 10. Jeg kan hverken huske å ha lært om konvekse polyeder eller Eulers formel på videregående.

Likte oppgave 4 godt jeg også.

[Gjest offline]

lærer man om eulers formel i R2 MATTE

[Aleks855]

lærer man om eulers formel i R2 MATTE

Nei, jeg kan ikke huske at det er en del av pensum. Å forstå Eulers formel vil jeg si krever en grunnleggende forståelse for komplekse tall, gjerne også rekkeutvikling, og det er typisk første semester på høyskole/universitet at man begynner å lære om det.

[Markus]

lærer man om eulers formel i R2 MATTE

Nei, jeg kan ikke huske at det er en del av pensum. Å forstå Eulers formel vil jeg si krever en grunnleggende forståelse for komplekse tall, gjerne også rekkeutvikling, og det er typisk første semester på høyskole/universitet at man begynner å lære om det.

Euler var en mann med mye oppkalt etter seg, så det er ikke rart dette fører til forvirring. Akkurat her snakket jeg og Gustav om Eulers formel som i Eulers polyedersetning, altså at $V-E+F=2$ for konvekse polyedere. Men historien er nok den samme. Det er vel ingen grafteori i R2 så vidt jeg vet?

[Aleks855]

Tanken slo meg at jeg kanskje gikk i den fella ved å anta hva som ble ment med Eulers formel i stedet for å lese kontekst.

Men nei, ingen grafteori heller.

[Gjest offline]

hvor mye universitetsmatte må man ha vært gjennom for å løseoppgavene fra andre runde og finalrunden?

[Janhaa]

lærer man om eulers formel i R2 MATTE

Nei, jeg kan ikke huske at det er en del av pensum. Å forstå Eulers formel vil jeg si krever en grunnleggende forståelse for komplekse tall, gjerne også rekkeutvikling, og det er typisk første semester på høyskole/universitet at man begynner å lære om det.

Euler var en mann med mye oppkalt etter seg, så det er ikke rart dette fører til forvirring. Akkurat her snakket jeg og Gustav om Eulers formel som i Eulers polyedersetning, altså at $V-E+F=2$ for konvekse polyedere. Men historien er nok den samme. Det er vel ingen grafteori i R2 så vidt jeg vet?

Euler's polyedersetning lærte jeg i diskret matematikk (het i sin tid endelig matematikk på UiO).

[Markus]

hvor mye universitetsmatte må man ha vært gjennom for å løseoppgavene fra andre runde og finalrunden?

En av hovedprinsippene med hele konkurransen er at man ikke trenger mer enn VGS-pensum. Før finalerunden pleier det å være en treningsleir der jeg tror det blant annet gås gjennom ekstra pensum til finalen, for eksempel funksjonallikninger. Selv om siste oppgave her i denne runden kan løses med Eulers formel, kan den også løses med vgs-kunnskaper (kanskje til og med US-kunnskaper på akkurat denne). Når det er sagt så kan det selvfølgelig være en fordel å være kjent med noe pensum fra universitet, noe akkurat denne oppgaven viser, men det er ikke et krav.

[Gjest offline]

hvor mye universitetsmatte må man ha vært gjennom for å løseoppgavene fra andre runde og finalrunden?

En av hovedprinsippene med hele konkurransen er at man ikke trenger mer enn VGS-pensum. Før finalerunden pleier det å være en treningsleir der jeg tror det blant annet gås gjennom ekstra pensum til finalen, for eksempel funksjonallikninger. Selv om siste oppgave her i denne runden kan løses med Eulers formel, kan den også løses med vgs-kunnskaper (kanskje til og med US-kunnskaper på akkurat denne). Når det er sagt så kan det selvfølgelig være en fordel å være kjent med noe pensum fra universitet, noe akkurat denne oppgaven viser, men det er ikke et krav.

Hvilken metode bruker man for å løse oppgave 8 og sånne oppgaver?

[Markus]

Hvilken metode bruker man for å løse oppgave 8 og sånne oppgaver?

Det krever ikke noe mer enn 1T-algebra. Husk på konjugatsetningen $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$. Først skriver vi om
$$\begin{alignat*}{2} T &= 10^{320}-\sqrt{10^{640}-1} = (10^{320}-\sqrt{10^{640}-1}) \cdot 1 \\
&= (10^{320}-\sqrt{10^{640}-1}) \cdot \left(\frac{10^{320}-\sqrt{10^{640}-1}}{10^{320}-\sqrt{10^{640}-1}} \right) \\
&= \frac{(10^{320}-\sqrt{10^{640}-1})(10^{320}+\sqrt{10^{640}-1})}{10^{320}+\sqrt{10^{640}-1}} = \frac{(10^{320})^2-(\sqrt{10^{640}-1})^2}{10^{320}+\sqrt{10^{640}-1}} \\
&= \frac{1}{10^{320}+\sqrt{10^{640}-1}}
\end{alignat*}$$
Det er vanskelig å finne noe eksplisitt utifra dette, så vi må gjøre litt mer arbeid. Selvfølgelig vil $T$ bli større år nevneren blir mindre, og på samme måte så vil T bli mindre når nevneren blir større. Så siden $10^{320}+\sqrt{10^{640}-1}>10^{320}$ vil $\frac{1}{10^{320}} > T$. Siden $\sqrt{10^{640}-1} < \sqrt{10^{640}}=10^{320}$ så vil $10^{320}+\sqrt{10^{640}-1}<10^{320}+10^{320} = 2 \cdot 10^{320}$, og derfor vil $\frac{1}{2 \cdot 10^{320}} < T$. Nå har vi begrenset $T$ ovenifra og nedenifra så $T$ må ligge mellom en av disse verdiene. Altså har vi funnet ut at $$\frac{1}{10^{320}} > T > \frac{1}{2 \cdot 10^{320}}$$ Dette er det samme som $$10^{-320}>T>5 \cdot 10^{-321}$$ Vi trenger ikke å vite $T$ eksakt, vi trenger bare å vite hvor mange sammenhengende nuller som er bak komma. Med $10^{-1}$ er det $0$ sammenhengende nuller bak desimaltegnet, med $10^{-2}$ er det $1$, og med $10^{-3}$ er det $2$. Mønsteret er klart, så bak desimaltegnet til $10^{-320}$ er det $319$ nuller. I $5 \cdot 10^{-321}$ er det $320$ nuller. Siden $T$ er strengt mindre enn $10^{-320}$ så vil den ha $320$ nuller bak desimaltegnet. Hvis du ikke er overbevist over dette, se f.eks på $10^{-3}$ og velg hvilket som helst tall $0<a<1$. Da vil $10^{-3}a$ ha $3$ sammenhengende nuller bak desimaltegnet, imens $10^{-3}$ vil ha $2$. Siden $T$ er større enn $5 \cdot 10^{-321}$ kan den maks ha nettopp $320$ sammenhengende nuller bak desimaltegnet. Dette fullfører beviset vårt, og desimalfremstillingen av $T$ har altså $320$ sammenhengde nuller.

Som du ser krevde ikke dette noe som helst universitetspensum, men heller algebraisk fleksibilitet og kløktig tenking. Det eneste "pensumet" som er brukt er noe man fint kunne forventet en ungdomsskoleelev kan.