N-te-rot

[danielslaattnes]

Jeg lurer på om det går ann å regne ut n-te-rot uten kalkulator? Min 2mxbok fra reform 94 har nemmelig en oppgave lik den nedenfor. "Finn ut uten bruk av kalkulator"

Feks. 5 [symbol:rot]0.03053= ... Bare for å ta et tall ut av luften.

Mvh og tusen takk

[Magnus]

Tror du har misforstått litt.

[danielslaattnes]

Ja jeg syntes det var rart. Skal finne frem boken i morra og skrive av ordrett, men er rimelig sikker på at oppgaven lød slik. Men la oss si jeg misforstod så må jo uansett kalkulatoren arbeide etter en algoritme for å finne svaret. Og hva er den?:)

[Guest]

De fleste kalkulatorer bruker Newton's metode. La oss ta et eksempel med kvadratrot. Si du skal finne [tex]\sqrt 3[/tex].

Det er det samme som å funne nullpunktet til funksjonen:

[tex]f(x) = x^2 - 3.[/tex]

Newton's metode går ut på å gjette på en løsning, og så stadig forbedre denne. Vi tegner opp grafen til [tex]f(x)[/tex] og gjetter litt vilt på [tex]x=2[/tex] som løsning. Vi finner punktet [tex]x=2[/tex] og tilhørende [tex]y=1[/tex]. Newton's ide var da at vi tegner tangenten til grafen i dette punktet og ser hvor den krysser x-aksen. Da får vi et nytt, bedre punkt, vi fortsetter på samme måte og får stadig bedre punkter. Det som er enda bedre er at vi kan regne på det uten å tegne.

Velger vi oss det første punktet som [tex]x_0[/tex], så vil det neste punktet bli

[tex] x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^/(x_0)}[/tex] (nevneren er altså den deriverte til [tex]f[/tex], det ser litt stygt ut på min skjerm)

og slik fortsetter vi:

[tex]x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f^/(x_n)}[/tex]

For funksjonen vår [tex]f(x) = x^2-3[/tex] har vi [tex]f^/(x) = 2x[/tex]
så Newton's metode gir oss

[tex]x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 3}{2x_n}[/tex]

Begynn nå f.eks. med [tex]x_0 = 2[/tex].

Vi får
[tex]x_1 = 2 - \frac{2^2 - 3}{2*2} = 2 - 1/4 \approx 1.75[/tex]

Videre får vi:
[tex] x_2 = 1.75 - \frac{(1.75)^2-3}{2*1.75} \approx 1.732[/tex]

Sånn fortsetter vi med [tex]x_3[/tex] osv. til tallene ikke forandrer seg særlig mer. Vi får altså en følge [tex](x_n)[/tex] som konvergerer mot løsningen. Metoden virker like bra med [tex]n[/tex]'te rot (Da er funksjonen [tex]x^n - a[/tex], hvis vi skal finne [tex]n[/tex]'te roten til [tex]a[/tex]. Den konvergerer ganske fort, i løpet av en 6-7 trinn har vi nok desimaler til de fleste praktiske formål. Metoden brukes også av kalkulatorer for å dividere. Se forøvrig http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method

[Guest]

Når jeg sier at de fleste kalkulatorer bruker Newtons metode, så er det kanskje ikke helt sant. Hvis kalkulatoren har logaritme, så beregner den muligens [tex]n[/tex] roten til [tex]x[/tex] slik:

[tex]\exp((\log x)/n)[/tex]

hvor [tex]\log[/tex] er den naturlige logaritmen