derivasjon av logartimefunksjoner

[Guest]

Noen som kan vise fremgangsmåten for å derivere disse to oppgavene?

$f(x)=\frac{lnx}{x}$

og

$f(x)=x^2{e}^{{}^{2x}}$


Thanks:)

[Kay]

$f(x)=\frac{\ln x}{x}$

Fra kvotientregelen ${\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{(v(x){)}^2}$

$f^{\prime }(x)=\frac{\ln (x{)}^{\prime }\cdot x-\ln (x)\cdot x^{\prime }}{x^2}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln (x)}{x^2}=\frac{1-\ln (x)}{x^2}$

Den andre tar du ved hjelp av produktregelen $(u(x)v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$

$f^{\prime }(x)=(x^2{)}^{\prime }{e}^{2x}+x^2(e^{2x}{)}^{\prime }=2x{e}^{2x}+2x^2{e}^{2x}=2x{e}^{2x}(1+x)$

[Guest]

$f(x)=\frac{\ln x}{x}$

Fra kvotientregelen ${\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{(v(x){)}^2}$

$f^{\prime }(x)=\frac{\ln (x{)}^{\prime }\cdot x-\ln (x)\cdot x^{\prime }}{x^2}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln (x)}{x^2}=\frac{1-\ln (x)}{x^2}$

Den andre tar du ved hjelp av produktregelen $(u(x)v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$

$f^{\prime }(x)=(x^2{)}^{\prime }{e}^{2x}+x^2(e^{2x}{)}^{\prime }=2x{e}^{2x}+2x^2{e}^{2x}=2x{e}^{2x}(1+x)$

Tusen takk!

Har du muligheten til å vise meg fremgangsmåten for denne oppgaven også?

$ln(0.2x)=0$

Gjorde sånn her men vet ikke om det blir riktig.

$e^{ln(0.2x)}=e^{{}^0}$

$0.2x=1$

$x=5$

[Markus]

Tusen takk!

Har du muligheten til å vise meg fremgangsmåten for denne oppgaven også?

$ln(0.2x)=0$

Gjorde sånn her men vet ikke om det blir riktig.

$e^{ln(0.2x)}=e^{{}^0}$

$0.2x=1$

$x=5$

Det er helt korrekt! Hvis du er usikker på svaret ditt sånn generelt når du løser likninger, kan du sette inn for $x$ i den originale likningen og se om løsningen stemmer eller ikke. Her får vi $\ln (0.2x)\stackrel{x=5}{=}\ln (0.2\cdot 5)=\ln (1)=0$, som stemmer med likningen.