Faktorisering ved bruk av kvadratsetningene

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
Kavitha

Hei!

Tok 1 MY for 5 år siden, har tenkt å ta 2MX til høsten. Har glemt en del regler gjennom årene. Sitter to dager med to oppgaver som jeg ikke klarer å løse. Kan noen hjelpe meg????

Oppgave 1) x^2-2x^2+1
Fasit: (x-1)^2(x+1)^2

Oppgave2) 6xy-3x^2-3y^2
Fasit: 3(x-y)^2

Hvordan får jeg til denne løsningen????? Hva er teknikken???? Hvordan vet jeg hvilken kvadratsetning jeg kan bruke?

Hilsen anir03
Solar Plexsus
Over-Guru
Over-Guru
Posts: 1686
Joined: 03/10-2005 12:09

1) Ut fra fasitsvaret å dømme skal det algebraiske uttrykket være x[sup]4[/sup] - 2x[sup]2[/sup] + 1, ikke [sup]2[/sup] - 2x[sup]2[/sup] + 1. For å faktorisere først nevnte uttrykk, kan vi anvende 2. kvadratsetning som sier at

(1) (a - b)[sup]2[/sup] = a[sup]2[/sup] - 2ab + b[sup]2[/sup]

og 3. kvadratsetning (konjungatsetningen) som sier at

(2) (a - b)(a + b) = a[sup]2[/sup] - b[sup]2[/sup].

Her har vi nemlig at

x[sup]4[/sup] - 2x[sup]2[/sup] + 1
= (x[sup]2[/sup])[sup]2[/sup] - 2x[sup]2[/sup] + 1
= (x[sup]2[/sup] - 1)[sup]2[/sup] ((1) med a=x[sup]2[/sup] og b=1)
= [(x - 1)(x + 1)][sup]2[/sup] ((2) med a=x og b=1)
= (x - 1)[sup]2[/sup]*(x + 1)[sup]2[/sup].


2) Vha. av (1) får vi at

6xy - 3x[sup]2[/sup] - 3y[sup]2[/sup] = -3(x[sup]2[/sup] - 2xy + y[sup]2[/sup]) = -3(x - y)[sup]2[/sup].
anir03
Cayley
Cayley
Posts: 83
Joined: 04/04-2006 12:04
Location: Vestfold

Takk for svaret. Det var til stor hjelp.
Hilsen anir03.
Solar Plexsus wrote:1) Ut fra fasitsvaret å dømme skal det algebraiske uttrykket være x[sup]4[/sup] - 2x[sup]2[/sup] + 1, ikke [sup]2[/sup] - 2x[sup]2[/sup] + 1. For å faktorisere først nevnte uttrykk, kan vi anvende 2. kvadratsetning som sier at

(1) (a - b)[sup]2[/sup] = a[sup]2[/sup] - 2ab + b[sup]2[/sup]

og 3. kvadratsetning (konjungatsetningen) som sier at

(2) (a - b)(a + b) = a[sup]2[/sup] - b[sup]2[/sup].

Her har vi nemlig at

x[sup]4[/sup] - 2x[sup]2[/sup] + 1
= (x[sup]2[/sup])[sup]2[/sup] - 2x[sup]2[/sup] + 1
= (x[sup]2[/sup] - 1)[sup]2[/sup] ((1) med a=x[sup]2[/sup] og b=1)
= [(x - 1)(x + 1)][sup]2[/sup] ((2) med a=x og b=1)
= (x - 1)[sup]2[/sup]*(x + 1)[sup]2[/sup].


2) Vha. av (1) får vi at

6xy - 3x[sup]2[/sup] - 3y[sup]2[/sup] = -3(x[sup]2[/sup] - 2xy + y[sup]2[/sup]) = -3(x - y)[sup]2[/sup].
Post Reply