17.mai-kombinatorikk

[Gustav]

Vi velger tilfeldig et tall mellom 1 og 9 (inkludert 1 og 9) $n>1$ antall ganger. Finn sannsynligheten for at produktet av de $n$ tallene er delelig med $10$.

[Nebuchadnezzar]

Godt mulig jeg tenker feil her (ble en lang 17 :p), men dette er hvertfall det jeg tenker.

EDIT: Når jeg fikk tenkt meg om finnes det en enklere tankemåte.

1. Sannsynligheten for at produktet ikke deler $5$ er $P(5^c) = (1 - 1/9)^{n}$.

2. Sannsynligheten for at produktet ikke deler $2$ er $P(2^c) = (1 - 4/9)^{n}$.

3. Sannsynligheten for at produktet ikke deler $2$ og $5$ er $P(5^c \cap 2^c) = (1 - 5/9)^{n}$.

Ved å bruke inklusjon-eksklusjon prinsippet får vi

$
\begin{align*}
P(5 \cup 2)
& = 1 - P(5^c \cup 2^c) \\
& = 1 - \bigl( P(5^c) + P(2^c) - P(5^c \cap 2^c) \bigr) \\
& = 1 - (8/9)^n -(5/9)^n + (4/9)^n
\end{align*}
$

Som stemmer greit når jeg testet det numerisk.

Code: Select all

import random


def prod_divisibility_probability(num_len, trials=10**6):
    nums_divisible_by_10 = 0
    for _ in range(trials):
        has_2 = False
        has_5 = False
        for _ in range(num_len):
            num = random.randint(1, 9)
            if num % 5 == 0:
                has_5 = True
            elif num % 2 == 0:
                has_2 = True
            if has_5 and has_2:
                nums_divisible_by_10 += 1
                break
    return nums_divisible_by_10 / float(trials)


if __name__ == "__main__":
    num_len = 5
    print(prod_divisibility_probability(num_len))

[Gustav]

Selvsagt helt riktig!

[Nebuchadnezzar]

Oppfølger:. Hva er sannsynligheten for at 11 deler ett palindrom av lengde $n>1$? For eksempel så er 11 ett palindrom med lengde 2.

[Gustav]

Oppfølger:. Hva er sannsynligheten for at 11 deler ett palindrom av lengde $n>1$? For eksempel så er 11 ett palindrom med lengde 2.

Hint: Palindromer av partallig lengde $n$ er alltid delelig på $11$