vektor r2

[Frantsen]

Vektor oppgave.
Jeg skal finne likningen for planet gitt punktene A(1,2,2) B(2,1,3) og C(3,1,1)

Noen jeg ikke skjønner er, hvorfor går ikke min utregning? Finner AB vektor som er 1,-1,1. Derretter vet jeg at normal vektoren i planet skal ganget med AB(vektor) bli 0. slik at normal vektor er (1,2,1) Hvorfor går ikke dette?

[Kay]

Det du gjør galt er at du neglisjerer punkt $C$. Ved hjelp av tre punkter kan du danne deg to vektorer og en normalvektor til de to vektorene ved hjelp av kryssproduktet.

Vi har $A=(1,2,2)$, $B=(2,1,3)$ og $C=(3,1,1)$

Da har vi at $\overrightarrow{AB}=[1,-1,1]$ og $\overrightarrow{AC}=[2,-1,-1]$

En normal vektor vil da være $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ 1& -1& 1\\ 2& -1& -1\end{array}\right|=i\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& -1\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& -1\end{array}\right|=2i+3j+k=[2,3,1]=\overrightarrow{n}$

Nå har vi en normalvektor på formen $\overrightarrow{n}=[a,b,c]=[2,3,1]$ og et punkt $P_0$ lik en av de opprinnelige punktene og samtidig et vilkårlig punkt $P=(x,y,z)$. Det punktet ligger på planet hvis og bare hvis $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{P_{0}P}$, dvs. $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{P_{0}P}=0$ og dermed $[a,b,c]\cdot [x-x_0,y-y_0,z-z_0]=a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$. Tar utgangspunkt i punktet $A=P_0$ og får $2(x-1)+3(y-2)+(z-2)=0$. Merk at du kan bruke både $A$, $B$ eller $C$ vilkårlig som $P_0$ da du uansett vil få samme planet som resultat.