integral vs areal

[tormund232]

Hvorfor tar en ikke hensyn til om grafen ligger over eller under x aksen når en regner bestemt integral. Integral svaret er noe annet enn areal svaret. (arealet må jeg ta hensyn til om grafen er over eller under x-aksen)

hva er forskjellen og hvorfor?

[Aleks855]

Et bestemt integral over en negativ funksjon (eller del av en funksjon) vil gi arealet med negativt fortegn.

For eksempel, hvis du betrakter ${\int }_0^{2\pi }\sin (x)\mathrm{d}x$, så vil man se at svaret blir $0$, fordi du har et areal over x-aksen, og et areal under x-aksen. Begge arealene er like store, men med motsatt fortegn, så de adderes til $0$. Et bestemt integral er derfor ikke nøyaktig det samme som arealet under (eller over) grafen, dersom grafen krysser under x-aksen.

For å finne arealet uavhengig av om det ligger over eller under x-aksen, så ville vi heller omgjort utregningen til $A={\int }_0^{\pi }\sin (x)\mathrm{d}x-{\int }_{\pi }^{2\pi }\sin (x)\mathrm{d}x$, med brytepunkt på $x=\pi$, der grafen krysser x-aksen, og ganger det "negative" arealet med $-1$ for å få størrelsen på arealet.

[tormund232]

Et bestemt integral over en negativ funksjon (eller del av en funksjon) vil gi arealet med negativt fortegn.

For eksempel, hvis du betrakter ${\int }_0^{2\pi }\sin (x)\mathrm{d}x$, så vil man se at svaret blir $0$, fordi du har et areal over x-aksen, og et areal under x-aksen. Begge arealene er like store, men med motsatt fortegn, så de adderes til $0$. Et bestemt integral er derfor ikke nøyaktig det samme som arealet under (eller over) grafen, dersom grafen krysser under x-aksen.

For å finne arealet uavhengig av om det ligger over eller under x-aksen, så ville vi heller omgjort utregningen til $A={\int }_0^{\pi }\sin (x)\mathrm{d}x-{\int }_{\pi }^{2\pi }\sin (x)\mathrm{d}x$, med brytepunkt på $x=\pi$, der grafen krysser x-aksen, og ganger det "negative" arealet med $-1$ for å få størrelsen på arealet.

Takk

så svaret på integralet blir da 0, som er riktig? på ditt eksempel

[Aleks855]

Ja, ${\int }_0^{2\pi }\sin (x)\mathrm{d}x=0$. Dette forteller oss bare at funksjonen har like stort areal over x-aksen som under.