grenseverdi oppgave

mangekyou · 08/07-2019 22:11

lim_{x - > 0} \frac{1 - \cos^{2} x}{x^{2}}

Hvordan regner man ut slike oppgaver?

Jeg kommer fram til at

lim_{x - > 0} \frac{1 - \cos^{2} x}{x^{2}} = lim_{x - > 0} \frac{\sin^{2} x}{x^{2}} = lim_{x - > 0} (\frac{\sin x}{x})^{2} = 1^{2} = 1

jeg kommer fram til svaret ved å se på grafen men skjønner ikke hvordan jeg skal regne ut det siste steget uten å se på grafen

mangekyou · 08/07-2019 22:40

En annen oppgave:

lim_{x - > 0} l n (x^{2})

Her ser jeg at

l n (x^{2}) = 2 l n x

. Jeg vet svaret blir -uendelig fordi lnx vil gå nærmere -uendelig jo nærmere x går mot 0.
ln 0.1 = -2.3, ln 0.01 = -4.6, ln 0.01 = -6.9 osv. Men hva er fremgangsmåten for å løse denne oppgaven?

09/07-2019 00:55

mangekyou wrote: $lim_{x - > 0} \frac{1 - \cos^{2} x}{x^{2}}$

Hvordan regner man ut slike oppgaver?

Jeg kommer fram til at $lim_{x - > 0} \frac{1 - \cos^{2} x}{x^{2}} = lim_{x - > 0} \frac{\sin^{2} x}{x^{2}} = lim_{x - > 0} (\frac{\sin x}{x})^{2} = 1^{2} = 1$

jeg kommer fram til svaret ved å se på grafen men skjønner ikke hvordan jeg skal regne ut det siste steget uten å se på grafen

Her kan du anvende L'hospital regel som sier at for to funksjoner

f

og

g

som er deriverbare over et åpent intervall

I

foruten i et eller annet punkt

c \subset I

, hvis da

lim_{x \to c} f (x) = lim_{x \to c} g (x) = 0 \lor \pm \infty, g^{'} (x) \neq 0 \forall x \in I

med

x \neq c

så er det slik at

lim_{x \to c} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to c} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

Da får vi at

lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} = lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2} = lim_{x \to 0} \cos (2 x) = \cos (0) = 1

For

lim_{x \to 0} \ln (x^{2}) = 2 lim_{x \to 0} \ln (x)

ser vi først på

lim_{x \to - \infty} e^{x} = e^{- \infty} = 0

, ta så logaritmen av begge sidene for å se at

\ln (e^{- \infty}) = \ln (0) \Leftrightarrow \ln (0) = - \infty

så da sitter vi igjen med

2 \cdot - \infty = - \infty

Mattebruker · 09/07-2019 07:41

OBS! ln( x

^{2}

) = 2

\cdot

ln(

| x |

)

mangekyou · 10/07-2019 17:13

Kay wrote:
mangekyou wrote: $lim_{x - > 0} \frac{1 - \cos^{2} x}{x^{2}}$

Hvordan regner man ut slike oppgaver?

Jeg kommer fram til at $lim_{x - > 0} \frac{1 - \cos^{2} x}{x^{2}} = lim_{x - > 0} \frac{\sin^{2} x}{x^{2}} = lim_{x - > 0} (\frac{\sin x}{x})^{2} = 1^{2} = 1$

jeg kommer fram til svaret ved å se på grafen men skjønner ikke hvordan jeg skal regne ut det siste steget uten å se på grafen
Her kan du anvende L'hospital regel som sier at for to funksjoner $f$ og $g$ som er deriverbare over et åpent intervall $I$ foruten i et eller annet punkt $c \subset I$ , hvis da $lim_{x \to c} f (x) = lim_{x \to c} g (x) = 0 \lor \pm \infty, g^{'} (x) \neq 0 \forall x \in I$ med $x \neq c$ så er det slik at $lim_{x \to c} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to c} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$

Da får vi at

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} = lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2} = lim_{x \to 0} \cos (2 x) = \cos (0) = 1$

For $lim_{x \to 0} \ln (x^{2}) = 2 lim_{x \to 0} \ln (x)$ ser vi først på $lim_{x \to - \infty} e^{x} = e^{- \infty} = 0$ , ta så logaritmen av begge sidene for å se at $\ln (e^{- \infty}) = \ln (0) \Leftrightarrow \ln (0) = - \infty$ så da sitter vi igjen med $2 \cdot - \infty = - \infty$

Takk, men jeg har ikke kommet så langt. Men jeg skal lese om L'hospital regel!