Jeg har fått oppgitt denne grafen
g(x)=[tex]\left\{\begin{matrix} (x-1)(1+sin(\frac{1}{x^1-1}) & &x\neq 1 \\ 0 & & x=1 \end{matrix}\right.[/tex]
Hvordan avgjør jeg om den er kontinuerlig i x=1 og om den er deriverbar i det punktet?
Emilga skrev:Fra oppgaven vet vi at $g(1) = 0$.
Videre er:
$$g(1+h) = (1+h-1) \left( 1 + \sin \left( \frac 1{1+h-1} \right) \right) = h \left( 1 + \sin \left( \frac 1h \right) \right)$$
Vi plugger dette inn i definisjonen for å sjekke om $g$ er deriverbar i punktet $x=1$:
$$ \lim_{h \to 0} \frac{g(1+h)-g(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{ h \left( 1 + \sin \left( \frac 1h \right) \right) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} 1 + \sin \left( \frac 1h \right) = 1 + \lim_{h \to 0} \sin \left( \frac 1h \right)$$
Spørsmålet er nå hva som skjer med sinus-leddet når $h \to 0$. Svaret er at sinus-leddet vil oscillere mellom $\pm 1$ uendelig mange ganger, raskere og raskere, jo mer vi nærmer oss $0$. Altså vil denne grenseverdien ikke konvergere. Link
Altså er $g$ ikke deriverbar i punktet $x=1$.
Emilga skrev:8-)
Emilga skrev:Riktig. Dersom eneste endring er at vi får $x^2 - 1$ i nevneren, ender vi opp med:
$$ \lim_{h \to 0} \sin \left( \frac 1{h^2 +2h} \right)$$
Som heller ikke konvergerer.
Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 61 gjester