Hvordan avgjøre om grafen er kontinuerlig og deriverbar?

[matteem offline]

Jeg har fått oppgitt denne grafen

g(x)=[tex]\left\{\begin{matrix} (x-1)(1+sin(\frac{1}{x^1-1}) & &x\neq 1 \\ 0 & & x=1 \end{matrix}\right.[/tex]

Hvordan avgjør jeg om den er kontinuerlig i x=1 og om den er deriverbar i det punktet?

[Emilga]

For å avgjøre om $g(x)$ er kontinuerlig i punktet $x=1$:

1) $g(x)$ må være definert i punktet $x=1$. Og det er den: $g(x=1) = 0$.

2) Grensen $\lim_{x \to 1} g(x)$ må konvergere, og være lik funksjonsverdien til $g$ i punktet $x=1$. Altså må denne grensen være like $0$. Vi deler gjerne grensen $x \to 1$ i to, én der $x \to 1^+$ ovenfra, og én der $x \to 1^-$ nedenfra. Begge disse grensene må da konvergere til $0$ for at $g$ skal være kontinuerlig i punktet $x=1$.

La oss se på $\lim_{x \to 1^+} g(x)$.

Observer at $-1 \leq \sin \left( \frac 1{x-1} \right) \leq 1$, siden $\sin( \cdot )$ alltid ligger mellom $\pm 1$.

Altså ligger $g$ mellom:

$$ (x-1) (1 + (-1)) \leq g(x) \leq (x-1) (1 + 1) $$

$$0 \leq g(x) \leq 2(x-1)$$

Og siden: $ \lim_{x \to 1^+} 2(x-1) = 0$, vil grensen $\lim_{x \to 1^+} g(x) = 0$. (Skviseteoremet.)

Vi gjør tilsvarende for nedre grense.

For å sjekke om $g$ er deriverbar i $x=1$, må:

$$\lim_{h \to 0} \frac{g(1+h)-g(1)}{h}$$

konvergere og være lik for øvre ($h \to 1^+$) og nedre ($h \to 1^-$) grense. Dersom disse grensene er forskjellige, er $g$ ikke deriverbar i punktet $x=1$.

[matteem offline]

Jeg har kommet så langt at jeg har begynt å derivere ved bruk av definisjonen til deriverte, men jeg klarer ikke det helt for sin(x) uttrykket gjør det litt vanskelig synes jeg. Og hva er forskjellen på 1+ og 1- når jeg skal sette opp den deriverte?

[Emilga]

Fra oppgaven vet vi at $g(1) = 0$.

Videre er:

$$g(1+h) = (1+h-1) \left( 1 + \sin \left( \frac 1{1+h-1} \right) \right) = h \left( 1 + \sin \left( \frac 1h \right) \right)$$


Vi plugger dette inn i definisjonen for å sjekke om $g$ er deriverbar i punktet $x=1$:

$$ \lim_{h \to 0} \frac{g(1+h)-g(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{ h \left( 1 + \sin \left( \frac 1h \right) \right) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} 1 + \sin \left( \frac 1h \right) = 1 + \lim_{h \to 0} \sin \left( \frac 1h \right)$$


Spørsmålet er nå hva som skjer med sinus-leddet når $h \to 0$. Svaret er at sinus-leddet vil oscillere mellom $\pm 1$ uendelig mange ganger, raskere og raskere, jo mer vi nærmer oss $0$. Altså vil denne grenseverdien ikke konvergere. Link

Altså er $g$ ikke deriverbar i punktet $x=1$.

[matteem offline]

Fra oppgaven vet vi at $g(1) = 0$.

Videre er:

$$g(1+h) = (1+h-1) \left( 1 + \sin \left( \frac 1{1+h-1} \right) \right) = h \left( 1 + \sin \left( \frac 1h \right) \right)$$


Vi plugger dette inn i definisjonen for å sjekke om $g$ er deriverbar i punktet $x=1$:

$$ \lim_{h \to 0} \frac{g(1+h)-g(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{ h \left( 1 + \sin \left( \frac 1h \right) \right) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} 1 + \sin \left( \frac 1h \right) = 1 + \lim_{h \to 0} \sin \left( \frac 1h \right)$$


Spørsmålet er nå hva som skjer med sinus-leddet når $h \to 0$. Svaret er at sinus-leddet vil oscillere mellom $\pm 1$ uendelig mange ganger, raskere og raskere, jo mer vi nærmer oss $0$. Altså vil denne grenseverdien ikke konvergere. Link

Altså er $g$ ikke deriverbar i punktet $x=1$.

TUSEN hjertelig takk! Jeg har nok gjort en feil fra starten av siden jeg fikk at [tex]g(h+1)=(h+2)(sin(\frac{1}{h}))[/tex]. Setter stor pris på hjelpen!

[Emilga]

[matteem offline]

8-)

Jeg lurer bare på en liten ting. Jeg kom over en lignende oppgave hvor alt er likt, men det står [tex]x^2[/tex]-1 nede i telleren i sinusfunksjonen. Denne vil vel heller ikke være deriverbar?

[Emilga]

Riktig. Dersom eneste endring er at vi får $x^2 - 1$ i nevneren, ender vi opp med:

$$ \lim_{h \to 0} \sin \left( \frac 1{h^2 +2h} \right)$$

Som heller ikke konvergerer.

[matteem offline]

Riktig. Dersom eneste endring er at vi får $x^2 - 1$ i nevneren, ender vi opp med:

$$ \lim_{h \to 0} \sin \left( \frac 1{h^2 +2h} \right)$$

Som heller ikke konvergerer.

Tusen takk for hjelpen igjen!