Grenseverdier

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Grenseverdier

Innlegg oleksai1 » 10/10-2019 22:04

Hei, litt usikker på denne:

lim
x -> uendelig = (sqrt(x^2 + x) - sqrt(x^2+ax)) = 7

Tenkte først å gange med konjugaten til (sqrt(x^2 + x) - sqrt(x^2+ax) både oppe og nede eller på begge sider. Men føler jeg ikke kommer noen vei.
oleksai1 offline

Re: Grenseverdier

Innlegg oleksai1 » 10/10-2019 22:05

må finne hva a skal være
oleksai1 offline

Re: Grenseverdier

Innlegg Kristian Saug » 10/10-2019 22:42

Digitalt finner vi a = -12.58
Kristian Saug offline

Re: Grenseverdier

Innlegg oleksai1 » 10/10-2019 22:52

hvordan gjør man det ikke digitalt da?
oleksai1 offline

Re: Grenseverdier

Innlegg Kristian Saug » 10/10-2019 22:56

Eller faktisk:
a = -13.00, om man bruker glider for a og ser at f(x) går mot 7 når x går mot uendelig.
Kristian Saug offline

Re: Grenseverdier

Innlegg Solar Plexsus » 13/10-2019 11:30

Nå er

$\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax}$

$= \frac{\Big( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax} \Big ) \Big ( \sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax} \Big )}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax}}$

$= \frac{(x^2 + x) - (x^2 + ax)}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax}}$

$= \frac{(1 - a)x}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax}}$

$= \frac{1 - a}{\frac{1}{x}{\Big ( \sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax} \Big )}}$,

som gir

$(1) \;\; \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax} = \frac{1 - a}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 + \frac{a}{x^2}}}$.

Det faktum at

$\lim_{x \rightarrow\infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 + \frac{a}{x^2}} = \sqrt{1 + \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 + \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{a}{x^2}} = 2\sqrt{1 + 0} = 2\sqrt{1} = 2 \cdot 1 = 2$,

hvilket følge (1) innebærer at

$\lim_{x \rightarrow \infty} \Big ( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax} \, \Big ) = \frac{1 - a}{2}$.

Dermed må

$\frac{1 \: - \: a}{2} = 7$,

som er en likning som har løsningen

$a = 1 - 2 \cdot 7 = 1 - 14 = -13$.
Solar Plexsus offline
Over-Guru
Over-Guru
Innlegg: 1667
Registrert: 03/10-2005 11:09

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: MSN [Bot] og 20 gjester