Grenseverdier

[Oskaroskar offline]

Hei sitter litt fast, fint om noen kan hjelpe meg med å finne grenseverdien til
lim h —> 0 ((x+h)^3 - x^3)/h.

Fasiten sier 3x^2 men uansett om jeg faktoriserer eller utvider eller hva, jeg får det ikke til

Takk

[Gjest offline]

Prøv å bruke L'hopital

[Janhaa]

hint:

[tex](x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3[/tex]

[josi offline]

Multipliser ut (x+h)^3 (binomialformelen) i telleren og trekk fra x^3. Da vil du se at alle ledd itelleren har h som faktor. Dermed kan h-en i nevneren forkortes bort. Så nå vil du se veien videre.

[SveinR offline]

Vise at [tex]\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = 3x^2[/tex]

Jeg tenker vi kan ha to mulige måter å se på denne oppgaven:
Løsning 1: Rett og slett å observere at dette er definisjonen på den deriverte av [tex]f(x) = x^3[/tex]. Da vet vi at [tex]f'(x) = 3x^2[/tex].

Løsning 2: Det over var kanskje litt juks, så løsning 2 blir å faktisk vise grenseverdien - og ved å gjøre det dermed bevise derivasjonsregelen over. Hvis vi ganger ut [tex](x+h)^3[/tex] får vi etter litt jobb [tex]x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3[/tex]. Da klarer du kanskje resten selv, ved å sette inn dette uttrykket for [tex](x+h)^3[/tex] i brøken?