Grenseverdier

[Oskaroskar]

Hei sitter litt fast, fint om noen kan hjelpe meg med å finne grenseverdien til
lim h —> 0 ((x+h)^3 - x^3)/h.

Fasiten sier 3x^2 men uansett om jeg faktoriserer eller utvider eller hva, jeg får det ikke til

Takk

[Guest]

Prøv å bruke L'hopital

[Janhaa]

hint:

$(x+h{)}^3=x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3$

[josi]

Multipliser ut (x+h)^3 (binomialformelen) i telleren og trekk fra x^3. Da vil du se at alle ledd itelleren har h som faktor. Dermed kan h-en i nevneren forkortes bort. Så nå vil du se veien videre.

[SveinR]

Vise at $\underset{h\to 0}{lim}\frac{(x+h{)}^3-x^3}{h}=3x^2$

Jeg tenker vi kan ha to mulige måter å se på denne oppgaven:
Løsning 1: Rett og slett å observere at dette er definisjonen på den deriverte av $f(x)=x^3$. Da vet vi at $f^{\prime }(x)=3x^2$.

Løsning 2: Det over var kanskje litt juks, så løsning 2 blir å faktisk vise grenseverdien - og ved å gjøre det dermed bevise derivasjonsregelen over. Hvis vi ganger ut $(x+h{)}^3$ får vi etter litt jobb $x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3$. Da klarer du kanskje resten selv, ved å sette inn dette uttrykket for $(x+h{)}^3$ i brøken?