Utregning av en skrå asymptote

[Bjorn321 offline]

Hei, jeg har funksjonen f(x)=x^2/x-1. Så skal jeg finne asymptotene til denne. Den har ingen horisontal asympote, men den har en vertikal asymptote i x=1. Denne har også en skrå asymptote med en verdi på x+1. Hvordan regner jeg meg fram til denne skrå asymptoten?

[Aleks855]

$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2}{x-1}$ gir deg den horisontale/skrå asymptota.

[Kristian Saug]

Hei,

Det gjør du ved polynomdivisjon:

(x^2 + 0 x) : (x - 1) = x + 1 + 1/(x - 1)
x^2 - x
x
x - 1
1

Vi ser at 1(x - 1) går mot null når x går mot uendelig
Dermed står vi igjen med g(x) = x + 1 som skrå asymptote.

[Bjorn321 offline]

$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2}{x-1}$ gir deg den horisontale/skrå asymptota.

Skjønner at det gir meg den horisontale asymptoten, nevneren blir 0 og den eksisterer ikke, men jeg forstår ikke hvordan dette skal gi meg den skrå.

Har en fasit som viser meg at jeg skal bruke polunomdivisjon for å få x+1+1/x-1, men forstår ikke hvordan de hopper for at dette skal gi meg svaret x+1 når x går mot uendelig

[Bjorn321 offline]

Hei,

Det gjør du ved polynomdivisjon:

x^2 + 0 x : (x - 1) = x + 1 + 1/(x - 1)
x^2 - x
x
x - 1
1

Vi ser at 1(x - 1) går mot null når x går mot uendelig
Dermed står vi igjen med g(x) = x + 1 som skrå asymptote.

Ok, tusen takk! Men hvorfor skal ikke den første x'en også gå mot uendelig? Hvorfor er det bare x'en i neveneren som går mot uendelig og blir 0?

[Kristian Saug]

Hei,

Det gjør du ved polynomdivisjon:

x^2 + 0 x : (x - 1) = x + 1 + 1/(x - 1)
x^2 - x
x
x - 1
1

Vi ser at 1(x - 1) går mot null når x går mot uendelig
Dermed står vi igjen med g(x) = x + 1 som skrå asymptote.

Ok, tusen takk! Men hvorfor skal ikke den første x'en også gå mot uendelig? Hvorfor er det bare x'en i neveneren som går mot uendelig og blir 0?

1/(x - 1) går mot null og forsummes når x går mot uendelig. x + 1 går ikke mot null når x går mot uendelig!

[Nebuchadnezzar]

Tror det kan hjelpe å se den faktiske definisjonen

La $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ være en funksjon. Da betegner vi $g(x) = ax + b$ som en skrå asymptote til $f$ dersom

$\hspace{1cm}
\lim_{x\to \infty} f(x) - g(x) = 0
$

Det er som sagt ikke viktig at funksjonen går mot uendelig når $x$ går mot uendelig, det som er viktig er at differansen går mot null. Angående funksjonen din har vi

$\hspace{1cm}
f(x) = \frac{x^2}{x - 1} = \frac{x^2 - 1 + 1}{x - 1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} + \frac{1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}
$

Hvor det nå er naturlig å velge $g(x) = x + 1$. Jeg overlater det til deg å vise at

$\hspace{1cm}
\lim_{x\to \infty} f(x) - g(x) = 0
$

med dette valget av $g$.