Julekalender, luke 6

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Julekalender, luke 6

Innlegg Gustav » 06/12-2019 16:32

For alle ikkenegative reelle tall $x,y,z$ slik at $x\ge y$, bevis ulikheten $$ \frac{x^3-y^3+z^3+1}{6}\ge (x-y)\sqrt{xyz}$$.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4401
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Julekalender, luke 6

Innlegg zzzivert » 07/12-2019 22:42

Fin julikhet :D

La $x-y = \alpha\ge 0$ og $xy = \beta^2$ der $\beta\ge 0$. Da kan ulikheten skrives
$$\alpha(\alpha^2+3\beta^2)+z^3+1\ge 6\alpha\beta \sqrt{z},$$
siden $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)=(x-y)((x-y)^2+3xy) = \alpha(\alpha^2+3\beta^2)$.
La
$$f(\beta) = 3\alpha \beta^2 -6\alpha \sqrt{z} \beta +\alpha^3+z^3+1,$$
da er målet å vise at $f(\beta) \ge 0$. Siden $f$ er en andregradsfunksjon,
er dette ekvivalent med å vise at diskriminanten er mindre eller lik null:
$36\alpha^2 z -12\alpha (\alpha^3+z^3+1)\le 0 \Leftrightarrow$
$3\alpha z \le \alpha^3+z^3+1 \Leftrightarrow$
$\sqrt[3]{\alpha^3\cdot z^3\cdot 1}\le \frac{\alpha^3+z^3+1}{3},$
som stemmer ved AM-GM.
Sist endret av zzzivert den 07/12-2019 23:11, endret 1 gang
zzzivert offline
Noether
Noether
Innlegg: 47
Registrert: 27/10-2014 09:26

Re: Julekalender, luke 6

Innlegg Gustav » 07/12-2019 23:08

zzzivert skrev:Fin julikhent :D


Baltic way 2019, oppgave 1 8-)
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4401
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Julekalender, luke 6

Innlegg zzzivert » 08/12-2019 00:21

Gustav skrev:Baltic way 2019, oppgave 1 8-)


Kult! Var du der? Jeg var faktisk med i Gdansk og Kjøbenhavn for mange år siden :)
zzzivert offline
Noether
Noether
Innlegg: 47
Registrert: 27/10-2014 09:26

Re: Julekalender, luke 6

Innlegg Gustav » 11/12-2019 21:23

zzzivert skrev:
Gustav skrev:Baltic way 2019, oppgave 1 8-)


Kult! Var du der? Jeg var faktisk med i Gdansk og Kjøbenhavn for mange år siden :)


For gammel for slike ting dessverre :(
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4401
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 23 gjester