Bevis

[Gjestebruker]

hei
hvordan bevise at uttrykket er større enn eller mindre enn to for tilfeller der a har minimum fire sifre

[tex]\frac{(a+1)^a}{a^a}[/tex]

[Kristian Saug]

hei
hvordan bevise at uttrykket er større enn eller mindre enn to for tilfeller der a har minimum fire sifre

[tex]\frac{(a+1)^a}{a^a}[/tex]

Når a går mot uendelig, går uttrykket mot ℯ.
For a = 1000 blir uttrykket 2,7169 hvilket er 0,05 % lavere enn ℯ.
For a = 2500 blir uttrykket 2,7177 hvilket er 0,02 % lavere enn ℯ.

[Guest]

det har jeg også gjort i geogebra

[Kristian Saug]

det har jeg også gjort i geogebra

Faktisk har vi at (a + p)^a / a^a går mot ℯ^p når a går mot uendelig.

[Kristian Saug]

(a + 1)^a / a^a =
(a(1 + 1/a))^a / a^a =
(a(1 + 1/a) / a)^a =
((1 + 1/a) / 1)^a

1^a = 1

og pr definisjon går (1 + 1/a)^a mot ℯ når a går mot uendelig.

Dermed er det bevist at (a + 1)^a / a^a går mot ℯ når a går mot uendelig.

[Guest]

hvis du begrenser antall sifre til bare fire, evt hvordan hadde jeg gått frem da?

[Kristian Saug]

hvis du begrenser antall sifre til bare fire, evt hvordan hadde jeg gått frem da?

I lærebøkene i matematikk er verdien ℯ forklart slik:

(1 + 1/10)^10 = 1,1^10 = 2,5937
(1 + 1/100)^100 = 1,01^100 = 2,7048
(1 + 1/1000)^1000 = 1,001^1000 = 2,7169
(1 + 1/10000)^10000 = 1,0001^10000 = 2,7181
.
.
.
Verdien vi får går mot en bestemt verdi, 2,718281828459, og dette er eulertallet ℯ kaldt opp etter den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler

Vi ser at med fire siffer (fra 1000 til 9999) får vi verdiene mellom 2,7169 og 2,7181 og dette er veldig nære ℯ.

[Gustav]

hei
hvordan bevise at uttrykket er større enn eller mindre enn to for tilfeller der a har minimum fire sifre

[tex]\frac{(a+1)^a}{a^a}[/tex]

Ikke en helt triviell ulikhet.

Må vise at $\frac{(a+1)^a}{a^a}>2$ for alle $a\ge 1000$. Innsatt for $a=1000$ gir ulikheten $\frac{1001^{1000}}{1000^{1000}}>2$ som følger av at $\frac{1001}{1000}\frac{1001}{1000}\frac{1001}{1000}...>\frac{\cancel{1001}}{1000}\frac{\cancel{1002}}{\cancel{1001}}... \frac{\cancel{1999}}{\cancel{1998}}\frac{2000}{\cancel{1999}}=2$.

Det gjenstår å vise at $f(a):= (1+\frac1a)^a$ er voksende. Derivasjon gir $f'(a)=\frac{(1+\frac1a)^a ((a+1)\log (1+\frac1a)-1)}{a+1}$ så det holder å vise at $(a+1)\log (1+\frac1a)-1>0$ , men det følger av at $\log(1+\frac1a)-\frac{1}{1+a}=\int_a^{\infty} \frac{1}{x(x+1)^2}\,dx >0$ for alle $a>0$ siden integranden er positiv.