vektorar

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
geil

Hei!
Her er eg på tynn is, men har løyst to oppgåver, sjå nedanfor.
Klarer ikkje å lage ei teikning av jorda med viklane.

Kan noko hjelpe meg å lage ei teikning med vinklane på dei to oppgåve og
er det eg har gjort riktig.

Oppgåve 2.51
Finn avstanden langs jordoverflata mellom Oslo (12°, 60°) og London (0°, 52°)

Oslo: x = 6400 · cos⁡ 60°· cos⁡ 12°=3130
y = 6400 · cos 60°·sin 12° = 665
z = 6400 ·sin⁡ 60° = 5543

London:
x = 6400 · cos⁡ 52° · cos⁡ 0°= 0
y = 6400 · cos⁡ 52° · sin⁡ 0°= 0
z = 6400 · sin⁡ 52° = 5043

Dette gir vektorane
(OO) ⃗ = [3130, 665, 5543].
(OL) ⃗ = [0, 0, 5043].

Vi har frå utrekningane med vinkelformelen at |(OO) ⃗ | = |(OL) ⃗ | = 6400

cos ∠ OOL = ((OO) ⃗ · (OL) ⃗)/(|(OO) ⃗ | · |(OL) ⃗ | )
= ([3130, 665, 5543 ] · [0, 0, 5043])/(√(4705^2+ 1997^2+ 3852^2 ) · √(0^2+ 0^2+ 6400^2 ) )
= (0 + 0 + 27953349)/(6400^2 ) = 27553349/(6400^2 ) = 0,6825
cos – 1 (0,6825) = 47°

Utfordring 2.52
Helsinki og Oslo ligg begge på 60° nord. Oslo ligg 12° aust, mens Helsinki ligg 24,5° aust.
a) Finn avstanden målt langs storsirkelbogen

Oslo:
x=6400 ·cos⁡〖60° ·cos⁡〖12°=3130
y = 6400 · cos⁡ 60° · sin⁡ 12 = 665
z = 6400 · sin⁡ 60° =5543

Helsinki:
x = 6400 ·cos⁡ 60° · cos⁡ 24,5°= 2912
y = 6400 ·cos⁡ 60° ·sin⁡ 24,5 = 1327
z = 6400 ·sin⁡ 60° = 5543

Dette gir vektorane

(OO) ⃗ = [3130, 665, 5543].
(OH) ⃗ = [2912, 1327, 5543].

Vi har frå utrekningane med vinkelformelen at |(O=) ⃗ | = |(OH) ⃗ | = 6400


cos ∠ AOB = ((OO) ⃗ · (OH) ⃗)/(|(OO) ⃗ | · |(OH) ⃗ | )
= ([3130, 665, 5543 ] · [2912, 1327, 5543])/(√(4705^2+ 1997^2+ 3852^2 ) · √(0^2+ 0^2+ 6400^2 ) )
= (9114560 + 882455 + 30724849)/(6400^2 ) = 40721864/(6400^2 ) ≈ 0,9942
cos – 1 (0,9942) ≈ 6,2°

Avstanden mellom OH:

‿ OH = 2π · r · v/(360°) = 2π · 6400 · (62°)/(360°) km ≈ 692,5 km = 693 km

b) Finn avstanden målt langs breiddesirkelen.

Radien til OH:

r_OH = cos 6,2° · r_J= ≈6363 km

Avstanden mellom OH:

‿ OH = 2π · r · v/(360°) = 2π · 6363 · (62°)/(360°) km ≈ 688,5 km = 689 km

c) Kommenter svara du har fått
Det er liten skilnad, fordi radien er nesten heilt lik.
jos
Galois
Galois
Posts: 578
Joined: 04/06-2019 12:01

Jeg prøver meg med vedlagte hjemmesnekrede tegninger.
Attachments
Håper dette er forståelig
Håper dette er forståelig
IMG_1005-kopi.jpg (46.27 KiB) Viewed 1787 times
geil

Det var vanskeleg å sjå og lese.

Vi bruker x, y, z - koordinatar der origo ligg i jordas sentrum. Her fell
y- aksen saman med jordas rotasjonsakse med retning sørover, yz-planet går
gjennom Greenwich (i London), og x-aksen står vinkelrett på yz-planet.
Når y-aksen er vendt sørover blir y - kordinatane negative negative og når
xy-planet går gjennom Greenwich (London) blir x- kordinaten til London lik
x = 0
Prøvde meg fram med geogebra for å finne vinkel mellom
vektorane OO og OL som gav avstanden ca 1150 km som eg fann på
internett. Dette må eg innrømme var tung materie å forstå og er det nokon
som kan forklare DETTE MED AKSANE MEIR FORSTÅELEG HADDE Eg VORE
SVÆRT TAKKSAM.

Her er DERMED MI løysinga på oppgåva

Oslo:
x= 6400 ·sin ⁡60° · cos⁡ 12°= 665
y = 6400 · sin⁡ 60° = - 5543 )
z = 6400 ·cos ⁡60° · cos⁡ 12°= 3130

London :
x = 0
y = 6400 · sin⁡ 60° = - 5043 )
z = 6400 ·cos ⁡60° · cos⁡ 12°= 3940

Dette gir vektorane
(OO) ⃗ = [665, - 5543, 3130].
(OL) ⃗ = [0, - 5043, 3940].

Vi har frå utrekningane med vinkelformelen at |(OO) ⃗ | = |(OL) ⃗ | = 6400

cos ∠ OOL = ((OO) ⃗ ·(OL) ⃗)/(|(OO) ⃗ |·|(OL) ⃗ | ) = ([665, -5543, 3130 ] · [0, -5043, 3940])/(√(665^2+(〖-(5543)〗^2+ 3132^2 ) · √(0^2+(- 〖5043)〗^2+ 3940^2 ) )
= (0 + 27953349 + 12332200)/(6400^2 ) = 40285549/(6400^2 ) = 0,9835
cos – 1 (0,9835) = 10,41°

Avstanden mellom OL:

‿ OL = 2π · r · v/(360°) = 2π · 6400 · (10,41°)/(360°) km ≈ 1163,0 km = 1163 km
josi

Beklager en uleselig tegning. Jeg forsøker meg nå bare med tekst. Med jordens sentrum, S, i origo er det lurt å la z-aksen falle sammemn med linjen fra jordens sentrum til nordpolen. La London, L, ligge i xz-planet slik at y-koordinaten til punktet L = 0. X-koordinaten blir 6400*cos(52) = 3940 og z-koordinaten 6400*sin(52) = 5043. SL=[3940,0,5043]
Oslo ligger på 60 grader nord og 12 grader øst. Det gir vektoren SO=[6400cos(60)cos(12),6400cos(60)sin(12),6400sin(60)]=[3130,665,5543]

Avstanden mellom Oslo og London er lengden av storsirkelsegmentet som forbinder byene. Vi finner cosinus til vinkelen C, og dermed vinkelen C, mellom vektorene SL og SO. Avstanden er da C3602π6400
Post Reply