Atter en geometri-nøtt

[Gustav]

Et punkt $P$ innenfor en trekant er gitt. Gjennom $P$ trekkes tre linjer parallelle med sidekantene i trekanten, slik at de skraverte arealene vist i figuren har arealer $4$, $9$ og $49$. Bestem arealet av den store trekanten.

[Kristian Saug]

$A=144$

[Janhaa]

$A=144$

Jeg fikk også $A=144$

Trekantene med areal hhv 4, 9, 49 og den største er formlike. Ser derfor på forholdet mellom grunnlinja kvadrert og areal trekantene i mellom.
Med litt algebra gir dette$A={12}^2=144.$

edit.

[Mattebruker]

Alternativ løysing:

Kan relativt lett vise at det øverste parallellogrammet har areal A${}_1$ = 12 ,
parallellogrammet nede til venstre A${}_2$ = 42 og nede til høgre A${}_3$ = 28.

Sumareal A = 12 + 42 + 28 + 62 ( skravert område ) = 144

Men dette er kanskje ei tungvint løysing samanlikna med Janhaa ( forstod ikkje heilt framgangsmåten ) .

[Gustav]

Som Janhaa skriver så er alle trekantene formlike, og arealene $A_i$ er derfor proporsjonale med kvadratet av grunnlinjene $g_i$, dvs. $A_i=k{g}_i^2$. $A_1=k{g}_1^2=4$, $A_2=k{g}_2^2=9$, $A_3=k{g}_3^2=49$. Siden grunnlinjen til den store trekanten er $g_1+g_2+g_3$, er arealet av den store trekanten $k(g_1+g_2+g_3{)}^2=k(\frac{2}{\sqrt{k}}+\frac{3}{\sqrt{k}}+\frac{7}{\sqrt{k}}{)}^2={12}^2=144$

[Mattebruker]

Enkel og elegant løysing !

[Janhaa]

Enkel og elegant løysing !

Ja, og fin oppgave :=)