Bevis: Formelen for buelengden av en graf

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Bevis: Formelen for buelengden av en graf

Innlegg Frævik » 08/03-2020 13:44

Hei. I dag tenkte jeg at jeg skulle prøve å bevise at buelengden L mellom punktene a og b av en graf i planet er gitt ved [tex]L=\int_{a}^{b} \displaystyle \sqrt{1+f'(x)^2} dx[/tex]. Jeg går førsteåret på vgs og har derfor ikke lært mye om bevis gjennom skolen, så kunne noen sett over og verifisert beviset?

Vi tenker oss at vi deler linjestykket fra a til b i n like lange deler. La [tex]P=\left \{ x_{0},x_{1},...x_{n-1},x_{n} \right \}[/tex] være mengden av alle disse punktene, hvor [tex]a=x_{0}[/tex] og [tex]b=x_{n}[/tex].

Som vi ser av tegningen i vedlegget vil lengden fra [tex]f(x_{k-1})[/tex] til [tex]f(x_{k})[/tex] (av Pytagoras' læresetning) være lik [tex]\sqrt{\Delta x^2+(f(x_{k})-f(x_{k-1}))^2}[/tex] for en hvilken som helst [tex]k\in \left \{ 0,1,2,...,n-1,n \right \}[/tex]. Her er [tex]\Delta x=x_{k}-x_{k-1}[/tex]. På tegningen er altså dette illustrert for [tex]k=2[/tex].

Vi ser nå at lengden L av grafen mellom a og b er [tex]L=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\Delta x^2+(f(x_{k})-f(x_{k-1}))^2}[/tex]

Fordi [tex]x_{k}=x_{k-1}+\Delta x[/tex], er

[tex]\frac{f(x_{k})-f(x_{k-1})}{x_{k}-x_{k-1}}=\frac{f(x_{k-1}+\Delta x)-f(x_{k-1})}{\Delta x}[/tex], men ettersom

[tex]n\rightarrow \infty[/tex] må også [tex]\Delta x\rightarrow 0[/tex]. Det fører til at
[tex]L=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\Delta x^2+(f(x_{k})-f(x_{k-1}))^2}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\Delta x^2+(\Delta x^2 \cdot f'(x_{k-1})^2)}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\Delta x^2(1+f'(x_{k-1})^2)}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \Delta x \sqrt{1+f'(x_{k-1})^2}[/tex]. Dette er en uendelig sum som vi kan omgjøre til integralet fra a til b:

[tex]\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2} dx[/tex]

QED

Takker så mye for all hjelp! :)
Vedlegg
Seggert.png
Her er en skisse.
Seggert.png (86.22 KiB) Vist 1720 ganger
Sist endret av Frævik den 09/03-2020 08:35, endret 3 ganger.
Frævik offline
Noether
Noether
Innlegg: 39
Registrert: 06/01-2019 20:55

Re: Bevis: Formelen for buelengden av en graf

Innlegg Aleks855 » 08/03-2020 14:07

Kode: Merk alt
\infty


$\infty$
Bilde
Aleks855 online
Rasch
Rasch
Innlegg: 6255
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Bevis: Formelen for buelengden av en graf

Innlegg Frævik » 08/03-2020 14:31

Tusen takk! Har fått endret det nå, men jeg kan ikke spørre lærerne her om hjelp til dette. Har du lyst å se over?
Frævik offline
Noether
Noether
Innlegg: 39
Registrert: 06/01-2019 20:55

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 13 gjester