Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.
Denne her irriterer meg! Jeg har klart å finne svaret ved prøving og feiling, men jeg trenger litt hjelp til å få det til ved regning.
Oppgaven er: Grafen til andregradsfunksjonen f er:
(De tre første deloppgavene er enkle; finn nullpunkter, toppunktet og verdimengden til f. Nå kommer problemet)
d) Funksjonsuttrykket til grafen kan skrives på formen
[tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex]
der a, b og c er konstanter. Finn de tre konstantene og bestem funksjonsuttrykket.
Siden jeg har funnet nullpunktene x=0 og x=4, tenkte jeg først at uttrykket da måtte være [tex](x-0)(x-4) = x(x-4) = x^2-4x[/tex] og gi konstantene a=1, b=-4 og c=0, men da jeg testet det på kalkulatoren, ble jo grafen "opp-ned" i forhold til bildet i oppgaven. Svaret skal jo da være [tex]-x^2+4[/tex] med konstantene a=-1, b=4 og c=0, men hvordan regner jeg meg frem til dette på en ordentlig måte?
Når funksjonen er en "surmunn", så er det en klar indikator på at koeffisienten til $x^2$ er negativ. Dette ser vi fordi $x^2$ er ALLTID 0 eller positiv. Det betyr at $-x^2$ ALLTID er 0 eller negativ. Så jo større $x$ blir, jo mer negativ vil $-x^2$ bli.
En måte vi også kan gjøre dette mer matematisk på, å se at $f(0) = 0, \quad f(2) = 4, \quad f(4) = 0$. Det gir oss likningssettet
Disse tre likningene, med tre ukjente (vel... $c$ er kanskje ikke ukjent) gir oss en entydig løsning, blant annet at $a = -1$, som vil gi den $-x^2$ vi forventer.
Vi ser direkte at [tex]c=0[/tex]
Ved å subtrahere likning nr 2 fra likning nr 3 får vi da at [tex]b=4[/tex]
Og av likning nr 2 får vi til slutt at [tex]a=-1[/tex]
Bruk nullpunktene slik du har gjort, men husk at den generelle faktoriseringen er [tex]a(x-x_1)(x-x_2)[/tex].
Vi får da [tex]f(x)=a(x-0)(x-4) = a x^2 - 4a x[/tex].
Bruk så infoen om f.eks. toppunktet, at [tex]f(2)=4[/tex], da kan vi bestemme [tex]a[/tex]:
[tex]a\cdot 2^2 - 4a\cdot 2 = 4[/tex]
[tex]4a - 8a = 4[/tex]
[tex]-4a = 4 \Rightarrow a=-1[/tex]
Bruk nullpunktene slik du har gjort, men husk at den generelle faktoriseringen er [tex]a(x-x_1)(x-x_2)[/tex].
Vi får da [tex]f(x)=a(x-0)(x-4) = a x^2 - 4a x[/tex].
Bruk så infoen om f.eks. toppunktet, at [tex]f(2)=4[/tex], da kan vi bestemme [tex]a[/tex]:
[tex]a\cdot 2^2 - 4a\cdot 2 = 4[/tex]
[tex]4a - 8a = 4[/tex]
[tex]-4a = 4 \Rightarrow a=-1[/tex]
Dermed har vi:
[tex]f(x)=-x^2 + 4x[/tex]
Jeg vet ikke om jeg forsto alt, men litt lurere ble jeg . Er det spesifikt informasjonen om toppunktet som gjør at vi kan bestemme [tex]a[/tex]?
Du kan bestemme $a$ ut fra et hvilket som helst punkt (annet enn nullpunktene). Du kan også observere at $f(1) = 3$ og benytte det i stedet for toppunktet.
. Er det spesifikt informasjonen om toppunktet som gjør at vi kan bestemme [tex]a[/tex]?
. Takk for hjelpen!