løs likningene

[Janhaa]

løs likningene under:
a)
$x^{x^2}=\sqrt[2\sqrt{2}]{2}$

b)
$x^3(x+1)=2(x+a)(x+2a)$

$a\in R$


(håper det ikke har lurt seg noe corona-virus :=) ).

[Solar Plexsus]

a)

Vi har gitt likningen

$(1)x^{x^2}=\sqrt[2\sqrt{2}]{2}$.

Ved å sette

$(2)x=2^y$

inn i likning (1) får vi

$2^{y\cdot 2^{2y}}=2^{\frac{1}{2\sqrt{2}}}$

som gir

$y\cdot 2^{2y}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$,

hvilket betyr at

$(3)y\cdot 2^{2y+\frac{3}{2}}=1$.

Så y er positiv ifølge likning (3), som igjen medfører at

$(4)y=2^z$,

som innsatt i likning (3) gir

$2^{z+2^{z+1}+\frac{3}{2}}=1$,

i.e.

$(5)2^{z+1}+z+\frac{3}{2}=0$.

Det faktum at funksjonen

$f(z)=2^{z+1}+z+\frac{3}{2}$

er strengt stigende og

$f(-2)=0$

innebærer at eneste løsning av likning (5) er z=-2, som innsatt i identiteten (4) og (2) gir

$x=2^y=2^{2^z}=2^{2^{-2}}=\sqrt[4]{2}$.

[Janhaa]

a)

Vi har gitt likningen

$(1)x^{x^2}=\sqrt[2\sqrt{2}]{2}$.

Ved å sette

$(2)x=2^y$

inn i likning (1) får vi

$2^{y\cdot 2^{2y}}=2^{\frac{1}{2\sqrt{2}}}$

som gir

$y\cdot 2^{2y}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$,

hvilket betyr at

$(3)y\cdot 2^{2y+\frac{3}{2}}=1$.

Så y er positiv ifølge likning (3), som igjen medfører at

$(4)y=2^z$,

som innsatt i likning (3) gir

$2^{z+2^{z+1}+\frac{3}{2}}=1$,

i.e.

$(5)2^{z+1}+z+\frac{3}{2}=0$.

Det faktum at funksjonen

$f(z)=2^{z+1}+z+\frac{3}{2}$

er strengt stigende og

$f(-2)=0$

innebærer at eneste løsning av likning (5) er z=-2, som innsatt i identiteten (4) og (2) gir

$x=2^y=2^{2^z}=2^{2^{-2}}=\sqrt[4]{2}$.

fin løsning, takk for bidraget

[Janhaa]

mitt bidrag, som involverer:

$$\begin{gathered} x^{x^2}=\sqrt[2\sqrt{2}]{2} \\ (x^{x^2}{)}^2=(\sqrt[2\sqrt{2}]{2}{)}^2 \\ (x^2{)}^{x^2}=2^{\frac{1}{\sqrt{2}}}=(\sqrt{2}{)}^{\sqrt{2}} \\ {x}^2=\sqrt{2} \\ x=\sqrt[4]{2} \end{gathered}$$

manipulere LHS = RHS