likninger med tre ukjente

[gamer32]

Finnes det en lur måte å løse følgende likningssett ? f.eks. med substitusjon kontra på den tradisjonelle måten?

$Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1982-t_0)\right)=1.5$

$Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1984-t_0)\right)=1$

$Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1985-t_0)\right)=0.6464$

[Guest]

hva mener du med substitusjon?

er ikke det man vanligvis gjør; finner et uttrykk for den ene variabelen og setter det inn i det andre uttrykket

[gamer32]

Jeg lurer på om det finnes en lur substitusjon man kan gjøre for å forenkle mellomregningene?

[Leonhard_Euler]

Kanskje addisjonsmetoden kan gi en raskere regning? Prøv å trekke fra en av likningene fra en annen, se om det hjelper noe.

[gamer32]

Kanskje addisjonsmetoden kan gi en raskere regning? Prøv å trekke fra en av likningene fra en annen, se om det hjelper noe.

mener du slik?

$[tex]$$(Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1982-t_0)\right))-(Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1984-t_0)\right))=\frac{1}{2}$
[/tex]

[Guest]

bruk at $\cos (u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v$

[gamer32]

jeg prøver:



(I) $Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1982-t_0)\right)=1.5$

(II) $Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1984-t_0)\right)=1$

(III) $Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1985-t_0)\right)=0.6464$

$I-II\iff Y+Z\cos (\frac{\pi }{4}(1982-t_0))-Y+Z\cos (\frac{\pi }{4}(1984-t_0))=0.5\iff Y+Z(\cos (\frac{1984\pi }{4})\ast \cos (\frac{\pi t_0}{4})+\sin (\frac{1984\pi }{4}\ast \sin (\frac{\pi t_0}{4})))=0.5$

$Y=\frac{0.5}{Z(\cos \left(\frac{1984\pi }{4}\right)\ast \cos \left(\frac{\pi t_0}{4}\right)+\sin \left(\frac{1984\pi }{4}\right)\ast \sin \left(\frac{\pi t_0}{4}\right))}$


dette ble ikke lett, kan noen hjelpe?

[Guest]

jeg prøver:



(I) $Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1982-t_0)\right)=1.5$

(II) $Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1984-t_0)\right)=1$

(III) $Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1985-t_0)\right)=0.6464$

$I-II\iff Y+Z\cos (\frac{\pi }{4}(1982-t_0))-Y+Z\cos (\frac{\pi }{4}(1984-t_0))=0.5\iff Y+Z(\cos (\frac{1984\pi }{4})\ast \cos (\frac{\pi t_0}{4})+\sin (\frac{1984\pi }{4}\ast \sin (\frac{\pi t_0}{4})))=0.5$

$Y=\frac{0.5}{Z(\cos \left(\frac{1984\pi }{4}\right)\ast \cos \left(\frac{\pi t_0}{4}\right)+\sin \left(\frac{1984\pi }{4}\right)\ast \sin \left(\frac{\pi t_0}{4}\right))}$


dette ble ikke lett, kan noen hjelpe?

dette ble litt feil:

ut i fra:


(I) $Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1982-t_0)\right)=1.5$

(II) $Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1984-t_0)\right)=1$

(III) $Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1985-t_0)\right)=0.6464$


får jeg at bla:

fra $I$:

$A=1.5-B\cos \left(\frac{\pi }{4}(1982-t_0)\right)$

Innsatt i $II$ gir dette:

$(1.5-B\cos \left(\frac{\pi }{4}(1982-t_0)\right))+B\cos \left(\frac{\pi }{4}(1984-t_0)\right)=1$

som gir:

$B=\frac{0.5}{(\cos \left(\frac{\pi }{4}(1982-t_0)\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}(1984-t_0)\right))}$

dette innsatt i $III$ og bruk av $A=1.5-B\cos \left(\frac{\pi }{4}(1982-t_0)\right)$ gir :

$(1.5-\left(\frac{0.5}{(\cos \left(\frac{\pi }{4}(1982-t_0)\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}(1984-t_0)\right))}\right)\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1982-t_0)\right))+\left(\frac{0.5}{(\cos \left(\frac{\pi }{4}(1982-t_0)\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}(1984-t_0)\right))}\right)\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1985-t_0)\right)=0.6464$

som er et gedigent uttrykk....
det må være lettere måte å gjøre dette på??

[SveinR]

(I) $Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1982-t_0)\right)=1.5$

(II) $Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1984-t_0)\right)=1$

(III) $Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1985-t_0)\right)=0.6464$

Det kan nok lønne seg å forenkle $\cos$-uttrykkene først, før man gjør noe annet. F.eks. den midterste blir:

$\cos (\frac{\pi }{4}(1984-t_0))=\cos (\frac{\pi }{4}\cdot 1984)\cdot \cos (\frac{\pi }{4}\cdot t_0)+\sin (\frac{\pi }{4}\cdot 1984)\cdot \sin (\frac{\pi }{4}\cdot t_0)$

Dette ser kanskje ikke så mye enklere ut, men observer at $\cos (\frac{\pi }{4}\cdot 1984)=\cos (\pi \cdot 496)=\cos (2\pi \cdot 248)=1$ (siden et helt antall $2\pi$ har cosinus-verdi 1).

Tilsvarende blir $\sin (\frac{\pi }{4}\cdot 1984)=\sin (\pi \cdot 496)=\sin (2\pi \cdot 248)=0$

Dermed ender vi opp med:
$\cos (\frac{\pi }{4}(1984-t_0))=1\cdot \cos (\frac{\pi }{4}\cdot t_0)+0\cdot \sin (\frac{\pi }{4}\cdot t_0)=\cos (\frac{\pi }{4}\cdot t_0)$

De andre $\cos$-uttrykkene kan også forenkles på nogenlunde tilsvarende måte.

[gamer32]

(I) $Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1982-t_0)\right)=1.5$

(II) $Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1984-t_0)\right)=1$

(III) $Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1985-t_0)\right)=0.6464$

Det kan nok lønne seg å forenkle $\cos$-uttrykkene først, før man gjør noe annet. F.eks. den midterste blir:

$\cos (\frac{\pi }{4}(1984-t_0))=\cos (\frac{\pi }{4}\cdot 1984)\cdot \cos (\frac{\pi }{4}\cdot t_0)+\sin (\frac{\pi }{4}\cdot 1984)\cdot \sin (\frac{\pi }{4}\cdot t_0)$

Dette ser kanskje ikke så mye enklere ut, men observer at $\cos (\frac{\pi }{4}\cdot 1984)=\cos (\pi \cdot 496)=\cos (2\pi \cdot 248)=1$ (siden et helt antall $2\pi$ har cosinus-verdi 1).

Tilsvarende blir $\sin (\frac{\pi }{4}\cdot 1984)=\sin (\pi \cdot 496)=\sin (2\pi \cdot 248)=0$

Dermed ender vi opp med:
$\cos (\frac{\pi }{4}(1984-t_0))=1\cdot \cos (\frac{\pi }{4}\cdot t_0)+0\cdot \sin (\frac{\pi }{4}\cdot t_0)=\cos (\frac{\pi }{4}\cdot t_0)$

De andre $\cos$-uttrykkene kan også forenkles på nogenlunde tilsvarende måte.

takk for innspill

jeg ender opp med :

$I\Rightarrow Y-Z\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=1.5$

$II\Rightarrow Y+Z\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=1$

$III\Rightarrow Y+Z(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right))=0.6464$

substitusjon
-------------------------------------
$Y=1.5+Z\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)$ fra $I$ i $II$ gir;

$(1.5+Z\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right))+Z\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=1$

$Z\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)+Z\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=-0.5$

----------------------------------------------------------
$\sqrt{2}Z\sin (\frac{\pi }{4}{t}_0+{\tan }^{-1}\left(\frac{Z}{Z}\right))=-0.5\Rightarrow Z\sin (\frac{\pi }{4}{t}_0+\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{4}$
------------------------------------------------------------

$I$ i $III$ gir:

$(1.5+Z\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right))+Z(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right))=0.6464$

$Z(\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right))=-0.8536\Rightarrow Z(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right))=-0.8536$


Har dermed uttrykkene:
$y_1:Z\sin (\frac{\pi }{4}{t}_0+\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{4}$

$y_2:Z(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right))=-0.8536$

fra $y_1$

$Z=\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}}{\sin (\frac{\pi }{4}{t}_0+\frac{\pi }{4})}$

innsatt i $y_2$ gir dette:

$\left(\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}}{\sin (\frac{\pi }{4}{t}_0+\frac{\pi }{4})}\right)\ast (\frac{2+\sqrt{2}}{2}\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right))=-0.8536$



$\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}\ast \frac{2+\sqrt{2}}{4}\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)}+\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}\ast \frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)}{\sin (\frac{\pi }{4}{t}_0+\frac{\pi }{4})}=-0.8536$


Jeg ser virkelig ikke hvordan dette skal gå videre??

[gamer32]

(I) $Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1982-t_0)\right)=1.5$

(II) $Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1984-t_0)\right)=1$

(III) $Y+Z\ast \cos \left(\frac{\pi }{4}(1985-t_0)\right)=0.6464$

Det kan nok lønne seg å forenkle $\cos$-uttrykkene først, før man gjør noe annet. F.eks. den midterste blir:

$\cos (\frac{\pi }{4}(1984-t_0))=\cos (\frac{\pi }{4}\cdot 1984)\cdot \cos (\frac{\pi }{4}\cdot t_0)+\sin (\frac{\pi }{4}\cdot 1984)\cdot \sin (\frac{\pi }{4}\cdot t_0)$

Dette ser kanskje ikke så mye enklere ut, men observer at $\cos (\frac{\pi }{4}\cdot 1984)=\cos (\pi \cdot 496)=\cos (2\pi \cdot 248)=1$ (siden et helt antall $2\pi$ har cosinus-verdi 1).

Tilsvarende blir $\sin (\frac{\pi }{4}\cdot 1984)=\sin (\pi \cdot 496)=\sin (2\pi \cdot 248)=0$

Dermed ender vi opp med:
$\cos (\frac{\pi }{4}(1984-t_0))=1\cdot \cos (\frac{\pi }{4}\cdot t_0)+0\cdot \sin (\frac{\pi }{4}\cdot t_0)=\cos (\frac{\pi }{4}\cdot t_0)$

De andre $\cos$-uttrykkene kan også forenkles på nogenlunde tilsvarende måte.

takk for innspill

jeg ender opp med :

$I\Rightarrow Y-Z\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=1.5$

$II\Rightarrow Y+Z\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=1$

$III\Rightarrow Y+Z(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right))=0.6464$

substitusjon
-------------------------------------
$Y=1.5+Z\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)$ fra $I$ i $II$ gir;

$(1.5+Z\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right))+Z\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=1$

$Z\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)+Z\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=-0.5$

----------------------------------------------------------
$\sqrt{2}Z\sin (\frac{\pi }{4}{t}_0+{\tan }^{-1}\left(\frac{Z}{Z}\right))=-0.5\Rightarrow Z\sin (\frac{\pi }{4}{t}_0+\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{4}$
------------------------------------------------------------

$I$ i $III$ gir:

$(1.5+Z\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right))+Z(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right))=0.6464$

$Z(\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right))=-0.8536\Rightarrow Z(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right))=-0.8536$


Har dermed uttrykkene:
$y_1:Z\sin (\frac{\pi }{4}{t}_0+\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{4}$

$y_2:Z(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right))=-0.8536$

fra $y_1$

$Z=\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}}{\sin (\frac{\pi }{4}{t}_0+\frac{\pi }{4})}$

innsatt i $y_2$ gir dette:

$\left(\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}}{\sin (\frac{\pi }{4}{t}_0+\frac{\pi }{4})}\right)\ast (\frac{2+\sqrt{2}}{2}\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right))=-0.8536$



$\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}\ast \frac{2+\sqrt{2}}{4}\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)}+\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}\ast \frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)}{\sin (\frac{\pi }{4}{t}_0+\frac{\pi }{4})}=-0.8536$


Jeg ser virkelig ikke hvordan dette skal gå videre??

sneket seg en liten feil i regnestykket mitt på slutten;
jeg ender opp dette med ingen veis ende;


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}\ast \frac{2+\sqrt{2}}{4}\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)}{\sin (\frac{\pi }{4}{t}_0+\frac{\pi }{4})}+\frac{\frac{-\sqrt{2}}{4}\ast \frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)}{\sin (\frac{\pi }{4}{t}_0+\frac{\pi }{4})}=-0.8536$

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[SveinR]

Dette ser veldig vrient ut ja. Jeg har en alternativ tilnærming jeg tror kan være nyttig:

I stedet for å eliminere $Y$ og deretter eliminere $Z$, så kan vi heller eliminere uttrykkene med $\sin$ og $\cos$.

Fra $I$ har vi at

$Z\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=Y-1.5$

Fra $II$ har vi at

$Z\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=1-Y$

Sett disse inn i $III$:

$Y+\frac{\sqrt{2}}{2}Z\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}Z\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=0.6464$

[josi]

Dette ser veldig vrient ut ja. Jeg har en alternativ tilnærming jeg tror kan være nyttig:

I stedet for å eliminere $Y$ og deretter eliminere $Z$, så kan vi heller eliminere uttrykkene med $\sin$ og $\cos$.

Fra $I$ har vi at

$Z\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=Y-1.5$

Fra $II$ har vi at

$Z\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=1-Y$

Sett disse inn i $III$:

$Y+\frac{\sqrt{2}}{2}Z\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}Z\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=0.6464$

Men blir ikke den første likningen:

$Z\ast cos(\frac{\pi }{4}{t}_0)+Y=1.5$?

[gamer32]

Dette ser veldig vrient ut ja. Jeg har en alternativ tilnærming jeg tror kan være nyttig:

I stedet for å eliminere $Y$ og deretter eliminere $Z$, så kan vi heller eliminere uttrykkene med $\sin$ og $\cos$.

Fra $I$ har vi at

$Z\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=Y-1.5$

Fra $II$ har vi at

$Z\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=1-Y$

Sett disse inn i $III$:

$Y+\frac{\sqrt{2}}{2}Z\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}Z\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=0.6464$

* $I:Z\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=Y-1.5$

* $II:Z\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=1-Y$

* $III:Y+\frac{\sqrt{2}}{2}Z\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}Z\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=0.6464$

$I$ og $II$ i $III$ :

$Y+\frac{\sqrt{2}}{2}(1-Y)+\frac{\sqrt{2}}{2}(Y-1.5)=0.6464$

$Y=\{0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\}$

$\frac{I}{II}=\frac{Z\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)}{Z\cos \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)}=\frac{Y-1.5}{1-Y}=\tan \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)=\frac{(0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2})-1.5}{1-(0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2})}$


$\frac{\pi }{4}{t}_0=-1.57+n\pi \Rightarrow t_0=\{-1.99+4n\}$

fra $I$ har vi;

$Z=\frac{Y-1.5}{\sin \left(\frac{\pi }{4}{t}_0\right)}=\frac{(0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2})-1.5}{\sin (\frac{\pi }{4}\ast (-1.99+4n))}$

$Z=\left\{\frac{(0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2})-1.5}{\sin (\frac{\pi }{4}\ast (-1.99+4n))}\right\}$


er svaret på oppgaven, dermed ;

$L\in \{Y=0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2},t_0=1.99+4n,Z=\frac{(0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2})-1.5}{\sin (\frac{\pi }{4}\ast (-1.99+4n))}\}$

Stemmer dette??

(gitt at $Y,Z>0$ er det bare til å bruke at $n=1$ ?

[SveinR]

$I$ og $II$ i $III$ :

$Y+\frac{\sqrt{2}}{2}(1-Y)+\frac{\sqrt{2}}{2}(Y-1.5)=0.6464$

$Y=\{0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\}$

Jeg er rimelig sikker på at meningen er at tallet $0.6464$ egentlig er ment å være $\frac{4-\sqrt{2}}{4}$ (som er $\approx 0.6464$), slik at vi ender opp med $Y=1$. Og da blir resten av løsningen veldig grei.