Hei
OPPGÅVE 2,151 SIGMA R2 2015
OPPGÅVETEKST
Vi har ein firkanta pyramide, ABCDT. Grunnflata ABCD er eit kvadrat med side lik 4√2.
Normalen frå toppunktet T ned på grunnflata treff grunnflata i punktet H, som ligg midt på sidekanten AD. Lengda TH er 4√2.
a) Finn vinkelen mellom sideflata BCT og grunnflata. Finn også vinkelen mellom sidekanten CT og grunnflata.
Vi plasserer pyramiden i eit koordinatsystem med grunnflata ABCD i xy-planet, slik at D får koordinatane (0, 4, 0), mens hjørna A og B får koordinatane (4, 0, 0) og (8, 4, 0).
b) Forklar at hjørnet C får koordinatane (4, 8, 0). Vis at koordinatane til T blir (2, 2, 4√2 ).
Treng hjelp til å bevise at T blir (2, 2, 4√2 ) i b).
Ser at lengda TH er 4√2 og dermed at z-koordinaten i T blir 4√2.
Fell ned normalen på BC og får punktet E
Korleis kan eg bevise at ∠ HET = 45°
tan ∠ HET = HT/HE
HT = HE · (tan ∠ HeT) = 4√2 · tan〖45°〗= 4√2 · 1 = 4√2
Her er mi løysing
a) Finn vinkelen mellom sideflata BCT og grunnflata. Finn også vinkelen mellom sidekanten CT og grunnflata.
∆ ADT er likebeina.
AH = 1/2 AD ⇒ AH = 1/2· 4√2 = 2√2.
AT = DT = √(AH^2+HT^2 ) ⇒ AT = √(〖2√2〗^2+〖4√2〗^2 ) = √(4·2+16·2)
=√40 = √4·√10 = 2√10
∆ BCT er likebeina og punktet E er normalen frå punktet T på BC.
tan ∠ BCT = HT/EH = (4√2 )/(4√2) = 1
tann – 1 (1) = 45°
∠ BCT = 45 °
BT = CT = √(AB^2+AT^2 ) ⇒ AT = √(〖4√2〗^2+〖2√10〗^2 ) = √(16·2+4·10)
=√72 = √36·√2 = 6√2
cos ∠ DCT = CD/CT = (4√2. )/(6√2) = 0,6667
cos – 1 (0,6667) = 48,19°
∠ DCT = 48,2 °
Vi plasserer pyramiden i eit koordinatsystem med grunnflata ABCD i xy-planet, slik at D får koordinatane (0, 4, 0), mens hjørna A og B får koordinatane (4, 0, 0) og (8, 4, 0).
b) Forklar at hjørnet C får koordinatane (4, 8, 0). Vis at koordinatane til T blir (2, 2, 4√2 ).
(AB) ⃗ = [8 – 4, 4 – 0, 0 - 0] = [4, 4, 0]
(AD) ⃗ = [0 – 4, 4 – 0, 0 - 0] = [ - 4, 4, 0]
(AC) ⃗ = (AD) ⃗ + (DC) ⃗ = [ - 4, 4, 0] + [4, 4, 0] = [0, 8, 0]
(OA) ⃗ = [4 - 0, 0 - , 0 - 0] = [4, 0, 0]
OC = (OA) ⃗ + (AC) ⃗ = [4, 0, 0] + [0, 8, 0] = [4, 8, 0]
C (4, 8, 0)
(AH) ⃗ = 1/2 · (AD) ⃗ = 1/2 · [ - 4, 4, 0] = [ - 2, 2, 0]
OH = (OA) ⃗ + (AH) ⃗ = [4, 0, 0] + [ - 2, 2, 0] = [2, 2, 0]
H (2, 2, 0)
