Geometri - Kjeglesnitt - Ellipse - Avstandar

[Egiljang]

Hei

Eg har ei oppgåve innan kjeglesnitt som eg står fast på, har lest
gjennom definisjonar, læreboka og søkt utan at eg fant oppgåver tilsvarande
den eg står fast på.

Oppgåva lyder slik:
Eit tau er 1,00 m langt. Det er festa i to punkt, A og B. som ligg 60 cm frå
kvarandre. Vi spenner ut tauet til ein trekant der det tredje punktet er P.
Deretter dreg vi punktet P rundt mens tauet er spent.

Deloppgåve D) Kor langt til høgre for B skjer kurva linja gjennom punkta A og B?

Fasit: 20 cm til høgre for B.

Korleis reknar eg meg fram til svaret?
Eg har lagt ved bilete av ei Ellipse og tolkar det slik at
F1P+F2P=2a, 2a vert det same som tauet si lengd på 100cm slik eg tolkar det. Samstundes OA vert a,
som igjen vert 50cm. Avstanden F1 til F2 er 60cm. AP+BP vert 100cm.

[josi]

Hei igjen!
Du er jo veldig nær svaret her da. Du har funnet ut at OB = 50cm og at F1F2 = 60cm.
Da må O ligge på midten av F1F2 og OF2 må være 30cm.
Altså: F2B = OB - OF2 = 50cm - 30cm = 20 cm.

[Egiljang]

Hei igjen!
Du er jo veldig nær svaret her da. Du har funnet ut at OB = 50cm og at F1F2 = 60cm.
Da må O ligge på midten av F1F2 og OF2 må være 30cm.
Altså: F2B = OB - OF2 = 50cm - 30cm = 20 cm.

Hei

Eg kan ikkje sjå at eg har funne OB, men OA, som er 50cm
Men eg antar at OB = OA då begge er 2a(100cm)/2=a(50cm)
Samt at OF2 er 30cm då det tilsvarar a, og F1F2 er 2a.

Då vert formelen at F2B er=2a/2 - AB/2 = 20cm
om eg prøve å skriva den meir generelt?

[josi]

Hei igjen!
Du er jo veldig nær svaret her da. Du har funnet ut at OB = 50cm og at F1F2 = 60cm.
Da må O ligge på midten av F1F2 og OF2 må være 30cm.
Altså: F2B = OB - OF2 = 50cm - 30cm = 20 cm.

Hei

Eg kan ikkje sjå at eg har funne OB, men OA, som er 50cm
Men eg antar at OB = OA då begge er 2a(100cm)/2=a(50cm)
Samt at OF2 er 30cm då det tilsvarar a, og F1F2 er 2a.

Då vert formelen at F2B er=2a/2 - AB/2 = 20cm
om eg prøve å skriva den meir generelt?

Et problem her er at benevnelsene i oppgaveteksten ikke stemmer med benevnelsene på ellipsetegningen du har gjengitt, og jeg har vel selv ved ikke å være dette bevisst bidratt til mer forvirring. $AB = 60$ i oppgaveteksten svarer til $F1F2$ på tegningen. Dette er altså linjestykket som forbinder brennpunktene til ellipsen. På tegningen er skjæringspunktet mellom forlengelsen av dette linjestykket ( til høyre) og ellipsen kalt $A$, mens vi altså i oppgaveteksten blir bedt om å vise hvor langt dette skjæringspunktet ligger til høyre for $B$ (som svarer til $F2$ på tegningen). Det følger fra definisjonen av en ellipse at storeaksen, $a$ (både i teksten og på tegningen), er gjennomsnittet av brennpunktsradiene. I oppgaven blir $ a =\frac{100}{2} = 50$
Sentrum $O$ i ellipsen ligger midt på $AB$ og $OB$ ( i oppgaveteksten) $ = \frac{60}{2} = 30$.
Avstanden mellom $B$ og skjæringspunktet blir $50 - 30 = 20$.
$c = \frac{AB}{2} = \frac{60}{2} = 30, b^2 = a^2 - c^2 => b = \sqrt{50^2 - 30^2} = 40$.

[Egiljang]

Hei igjen!
Du er jo veldig nær svaret her da. Du har funnet ut at OB = 50cm og at F1F2 = 60cm.
Da må O ligge på midten av F1F2 og OF2 må være 30cm.
Altså: F2B = OB - OF2 = 50cm - 30cm = 20 cm.

Hei

Eg kan ikkje sjå at eg har funne OB, men OA, som er 50cm
Men eg antar at OB = OA då begge er 2a(100cm)/2=a(50cm)
Samt at OF2 er 30cm då det tilsvarar a, og F1F2 er 2a.

Då vert formelen at F2B er=2a/2 - AB/2 = 20cm
om eg prøve å skriva den meir generelt?

Et problem her er at benevnelsene i oppgaveteksten ikke stemmer med benevnelsene på ellipsetegningen du har gjengitt, og jeg har vel selv ved ikke å være dette bevisst bidratt til mer forvirring. $AB = 60$ i oppgaveteksten svarer til $F1F2$ på tegningen. Dette er altså linjestykket som forbinder brennpunktene til ellipsen. På tegningen er skjæringspunktet mellom forlengelsen av dette linjestykket ( til høyre) og ellipsen kalt $A$, mens vi altså i oppgaveteksten blir bedt om å vise hvor langt dette skjæringspunktet ligger til høyre for $B$ (som svarer til $F2$ på tegningen). Det følger fra definisjonen av en ellipse at storeaksen, $a$ (både i teksten og på tegningen), er gjennomsnittet av brennpunktsradiene. I oppgaven blir $ a =\frac{100}{2} = 50$
Sentrum $O$ i ellipsen ligger midt på $AB$ og $OB$ ( i oppgaveteksten) $ = \frac{60}{2} = 30$.
Avstanden mellom $B$ og skjæringspunktet blir $50 - 30 = 20$.
$c = \frac{AB}{2} = \frac{60}{2} = 30, b^2 = a^2 - c^2 => b = \sqrt{50^2 - 30^2} = 40$.

Hei Josi

Takk for svara din, oppklarande definisjonar var det eg behøvde.

Når det gjeld definisjonen så håpar eg at eg oppfatta deg rett om det er [tex]2a=\frac{100}{2} =50[/tex] då det stemmer med teikninga, og storeaksen A i teksten?

Teikningen forklarar at den store halvaksen er avstand OA, dermed avstand frå O til skjæringspunktet til høgre for B i teksten slik eg forstår det.
F1P+F2P (teikninga) = AP+BP (teksten) = 2a = 100cm med andre ord. Då vert den store aksen 100cm.

[josi]

Teikningen forklarar at den store halvaksen er avstand OA, dermed avstand frå O til skjæringspunktet til høgre for B i teksten slik eg forstår det.
F1P+F2P (teikninga) = AP+BP (teksten) = 2a = 100cm med andre ord. Då vert den store aksen 100cm.

Dette er riktig.

Men legg merke til at dette står i strid med hva du skrev like før:

Når det gjeld definisjonen så håpar eg at eg oppfatta deg rett om det er $ 2a=\frac{100}{2} = 50$

då det stemmer med teikninga, og storeaksen A i teksten?

Det er $a$ som er $ 50, 2a = 100$

Håper du stadig vekk står på frem mot R2!