Kjerneregel! Og utregning

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Kjerneregel! Og utregning

Innlegg Honning » 13/05-2020 16:42

Hei!

Jeg har slitt med kjerneregelen en god stund, og sett mange videoer. Blir lett forvirret av hva som er funksjonen av hva.

Har tre spørsmål:

- kan man velge hva som er kjernen og hva som er funksjonen?

- jeg har lært at man enkelt kan tenke at kjerneregelen i praksis er funksjonen derivert gange kjernen derivert. Men jeg skjønner ikke helt hva funksjonen er. På eksempelet under (x-3)^6 leser jeg at (x-3) er kjernen. Er da ^-6 funksjonen? Eller er HELE tallet, dvs (x-3)^6 funksjonen? Jeg har lest og ser de bruker u og plutselig bytter denne til x, men det er bare forvirrende for meg.

Bilde

Jeg klarte heller ikke å regne ut dette, har funnet to alternative måter å gjøre det på. Det stopper opp når jeg kommer til (x-3)^6 + 6x (x-3)^5
På løsningene er plutselig potensene borte noen steder. Limer inn løsning to under. Ganger de inn 6x i (x-3)^5? Hvorfor får plutselig (x-3) en mindre i potens?

Bilde
Honning offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 18
Registrert: 13/05-2020 10:44

Re: Kjerneregel! Og utregning

Innlegg Aleks855 » 13/05-2020 17:07

I oppgaven brukes både produktregelen og kjerneregelen. Men la oss ta en liknende funksjon som kun trenger kjerneregelen, bare for å fokusere på det.

La $f(x) = (x-3)^6$ være funksjonen vi ønsker å derivere.

For å svare på et av spørsmålene; ja, vi kan fritt velge hva vi ønsker å bruke som kjerne.

En ting vi vet, er at en funksjon som $x^6$ ville vært enkel å derivere ved å bruke potensregelen. Og vi kan oppnå noe liknende hvis vi innfører

$$u(x) = (x-3)$$

Merk: jeg bruker $u(x)$ og $u$ om hverandre. De betyr det samme. Bare husk at $u$ er en funksjon av $x$.

Nå ser vi at $f(x)$ kan skrives som en funksjon av u i stedet, fordi $f(x) = (x-3)^6 = u^6$. La oss kalle denne funksjonen $g(u) = u^6$. Dette er akkurat samme funksjon som $f(x)$, men skrevet som en funksjon av $u$.

Vi trenger å vite $g'(u)$. Denne blir, ved potensregelen, $g'(u) = 6u^5$.

Vi trenger også å vite $u'(x)$ som blir $u'(x) = 1$.

Kjerneregelen forteller oss at $$\begin{matrix} f'(x) & =& g'(u) \cdot u'(x) \\ & =&6u^5 \cdot 1 \\ &=& 6u^5 & (\text{bytter tilbake } u=x-3) \\ &=& 6(x-3)^5 \end{matrix}$$

Nå vet vi at den deriverte av $(x-3)^6$ er $6(x-3)^5$.

Nå kan dette settes inn i produktregelen, siden funksjonen du egentlig skulle derivere var $h(x) = x(x-3)^6$, og du får bruk for å vite den deriverte av $x$ og av $(x-3)^6$ som vi nå ha sett på.
Bilde
Aleks855 online
Rasch
Rasch
Innlegg: 6275
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Kjerneregel! Og utregning

Innlegg Honning » 14/05-2020 10:12

Tusen takk! Nå forstår jeg hele kjerneregelen, har aldri lest en bedre forklaring! Fantastisk.

Når det kommer til utregningen under, følger jeg med til (x-3)^6 + 6x (x-5)

Men etter det faller jeg av. De to eksemplene gjør resten av utregningen på ulike måter, men vet ikke helt hva noen av de gjør. Om noen har tid til å hjelpe meg med det, tror jeg jeg kommer meg igjennom derivasjonsdelen på eksamen:)))
Honning offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 18
Registrert: 13/05-2020 10:44

Re: Kjerneregel! Og utregning

Innlegg SveinR » 14/05-2020 10:40

Ok, så du har fulgt med til

$ (x-3)^6 + 6x (x-3)^5$

For å faktorisere denne, kan vi se at $(x-3)$ er felles faktorer i begge ledd. I det første leddet har vi 6 stk av den faktoren, i det andre leddet har vi 5 stk. Det som er felles er dermed de fem, altså $(x-3)^5$.
Det kan kanskje hjelpe å skrive om det første leddet litt så vi får

$ (x-3)^5(x-3) + 6x (x-3)^5$

Om vi nå faktoriserer ut $(x-3)^5$ får vi

$(x-3)^5\bigl((x-3) + 6x\bigr)$

Så trekker vi sammen det som er inne i den store parentesen, og får til slutt

$(x-3)^5 (7x - 3)$
SveinR offline
Jacobi
Jacobi
Innlegg: 301
Registrert: 22/05-2018 21:12

Re: Kjerneregel! Og utregning

Innlegg Honning » 14/05-2020 13:14

Ai, tusen takk!

Jeg skjønte ikke kjerneregelen først, men når jeg skjønte den, kom jeg frem dit, ja. Nå skjønner jeg hele! Veldig nyttig. Tusen takk, begge to!
Honning offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 18
Registrert: 13/05-2020 10:44

Re: Kjerneregel! Og utregning

Innlegg Honning » 20/05-2020 14:20

Hei igjen!

Sliter med en liknende oppgave!

Delen med produktregelen er grei, men skjønner ikke hvordan jeg skal derivere v - dvs 1+e^-2x

Jeg tenker at 1+e er kjernen, og at 1+e^-2x er funksjonen.

Sliter med:

- 1+e derivert - hva er det? Jeg har tenkt null, men kanskje e derivert er 1, slik at det blir en.

- hele uttrykket derivert: blir ikke det -2(u) ? Dvs -2(1+e) ? Også skal dette ganges med kjernen derivert, som sikkert er 1, da. Men det blir jo feil. Legger ved oppgave og løsning under:

Bilde
Honning offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 18
Registrert: 13/05-2020 10:44

Re: Kjerneregel! Og utregning

Innlegg Honning » 21/05-2020 16:45

Noen? Har sovet på denne, men skjønner fremdeles ikke!
Honning offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 18
Registrert: 13/05-2020 10:44

Re: Kjerneregel! Og utregning

Innlegg Kristian Saug » 21/05-2020 17:05

Honning skrev:Noen? Har sovet på denne, men skjønner fremdeles ikke!


Hei,

Det er regelen for derivasjon av brøk!
(u/v)' = ((u' * v) - (u * v'))/ v^2

og kjerneregel
(e^(kx))' = k * e^(kx)
Kristian Saug offline
Galois
Galois
Innlegg: 593
Registrert: 11/11-2019 18:23

Re: Kjerneregel! Og utregning

Innlegg Gjest » 21/05-2020 18:20

Bilde[/quote]

Du bruker rett og slett kvotientregelen. Den er som følger:

[tex]({\frac{u}{v}})^\prime=\frac{u^\prime\cdot v-u \cdot v^\prime} {v^2}[/tex]

Vi har da:
[tex]u=8[/tex]
[tex]v=1+e^{-2x}[/tex]

og

[tex]u^\prime=0[/tex]
[tex]v^\prime=-2e^{-2x}[/tex]

Insatt får du:

[tex]({\frac{8}{1+e^{-2x}}})^\prime=\frac{0\cdot 1+e^{-2x}-8 \cdot -2e^{-2x}} {(1+e^{-2x})^2}[/tex]

Altså:
[tex]({\frac{8}{1+e^{-2x}}})^\prime=\frac{-8 \cdot -2e^{-2x}} {(1+e^{-2x})^2}=\frac{16e^{-2x}} {(1+e^{-2x})^2}[/tex]

Skjønte? :)
Gjest offline

Re: Kjerneregel! Og utregning

Innlegg SveinR » 21/05-2020 18:25

Honning skrev:Delen med produktregelen er grei, men skjønner ikke hvordan jeg skal derivere v - dvs 1+e^-2x

Jeg tenker at 1+e er kjernen, og at 1+e^-2x er funksjonen.

Sliter med:

- 1+e derivert - hva er det? Jeg har tenkt null, men kanskje e derivert er 1, slik at det blir en.

- hele uttrykket derivert: blir ikke det -2(u) ? Dvs -2(1+e) ? Også skal dette ganges med kjernen derivert, som sikkert er 1, da. Men det blir jo feil.

Du ønsker altså å derivere
$1 + e^{-2x}$

Her kan vi for det første derivere "ledd for ledd", slik at det blir
$\left(1 + e^{-2x}\right) = (1)' + \left(e^{-2x}\right)'$

Det første leddet er jo kun den deriverte av konstanten $1$, som blir $0$. Så det eneste vi trenger å bry oss om da er å derivere $e^{-2x}$

Det vi kan bruke her, er at vi vet hvordan vi deriverer $e^u$. Så det er eksponenten som blir kjernen her, med $u=-2x$. Og da får vi

$ \left(e^{-2x}\right)' = \left(e^u\right)' = e^u \cdot u' = e^{-2x}\cdot (-2) = -2e^{-2x}$.



Det du nok har tenkt på, er hvis funksjonen du skulle derivert var $\left(1+e^x\right)^{-2}$. Da hadde det vært fornuftig å bruke $u=1+e^x$ som kjerne, siden vi da sitter igjen med en potens $u^{-2}$ å derivere. Men å derivere dette blir ikke helt slik du foreslår - gjerne forsøk på denne og spør om du gjør den rett :)
SveinR offline
Jacobi
Jacobi
Innlegg: 301
Registrert: 22/05-2018 21:12

Re: Kjerneregel! Og utregning

Innlegg cos » 25/05-2020 16:57

Honning: Kjernen er [tex]\: -2x[/tex]
Det ett-tallet du ser, er bare en konstant.
cos offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 1
Registrert: 21/05-2020 18:23

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google [Bot], Google Adsense [Bot] og 18 gjester