Lett ulikhet (vgs)

[Janhaa]

Gitt
$a\ge 0,b\ge 0,c\ge 0$

Bevis ulikheten:

$\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b}\ge 3$

[Mattebruker]

Dette er Nesbitt's inequality.

Wikipedia presenterer i alt 9 ulike løysingar på dette problemet.
Meiner at Jensen gir den enklaste og mest elegante løysinga , men denne ligg vel utanfor vgs-pensum.
Elles meiner eg å hugse at den same ulikskapen har vore presentert i ulikhetmaraton på herverande forum.

[Mattebruker]

Ulikheit på vgs-nivå :

La a , b , c , d $\in$ R${}_{+}$

Vis at $\frac{a}{b}$ + $\frac{c}{d}$ + $\frac{b}{a}$ + $\frac{d}{c}$ $\ge$ 4

[josi]

Ulikheit på vgs-nivå :

La a , b , c , d $\in$ R${}_{+}$

Vis at $\frac{a}{b}$ + $\frac{c}{d}$ + $\frac{b}{a}$ + $\frac{d}{c}$ $\ge$ 4

Ved å sette på fellesnevner, faktorisere ut to ganger og forkorte blir
$$\begin{gathered} \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{b}{a}+\frac{d}{c}= \\ \frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{c^2+d^2}{cd} \\ a=kb=>\frac{k^2{b}^2+b^2}{k{b}^2}=k+\frac{1}{k} \end{gathered}$$
som har minimunsverdi 2 for k = 1. Analogt gjelder for $\frac{c^2+d^2}{cd}$ slik at $\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{c^2+d^2}{cd}\ge 4$

[Gustav]

Ulikheit på vgs-nivå :

La a , b , c , d $\in$ R${}_{+}$

Vis at $\frac{a}{b}$ + $\frac{c}{d}$ + $\frac{b}{a}$ + $\frac{d}{c}$ $\ge$ 4

Det enkleste her er nok AM-GM som gir $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{b}{a}+\frac{d}{c}\ge 4\sqrt[4]{\frac{abcd}{abcd}}=4$.

[Mattebruker]

Føler at eg må gi " full utteljing " til begge . Josi løyser ulikskapen heilt korrekt med det verktøyet som er tilgjengeleg på vgs-nivå.
Gustav presenterer ei meir " elegant " løysing ( AM-GM ) , men denne er ikkje med i vgs -pensum.

[Mattebruker]

Ulikheit på vgs-nivå:

La a , b $\in$ R${}_{+}$

Vis at a${}^3$ + b${}^3$ $\ge$ a${}^2$b + ab${}^2$

[Janhaa]

Ulikheit på vgs-nivå:

La a , b $\in$ R${}_{+}$

Vis at a${}^3$ + b${}^3$ $\ge$ a${}^2$b + ab${}^2$

Tipper AM - GM i farta.

[Mattebruker]

Trur ikkje at AM-GM er eit tenleg verktøy her . Dessutan: AM-GM fell utanfor vgs - pensum.

[Guest]

er jeg på rett spor hvis jeg setter$(a-b)(a^2-b^2)\ge 0$ ?

[Mattebruker]

Perfekt ! !

[Mattebruker]

Gjest er på rett spor , men ikkje heilt i mål !

[josi]

er jeg på rett spor hvis jeg setter$(a-b)(a^2-b^2)\ge 0$ ?

$(a-b)(a^2-b^2)={(a-b)}^2(a+b)\ge 0$

[Mattebruker]

The proof is completed !

[Guest]

ny ulikhet på vgs nivå
vis at x^8-x^5+x^2-x+1 er større enn 0 for alle x som er element i R