komplekse tall og absoluttverdi

[mnbvc]

Skal vise at

(abs(z+w))^2 + (abs(z-w))^2 = 2(abs(z))^2 + 2(abs(w))^2

Har foreløpig at ( abs(z+w) )^2 = z^2 + w^2,

Antar da at abs(z-w) må være det samme?
Vet at abs(z-w) er avstanden mellom z og w, men skjønner ikke hvordan jeg går videre derfra (eller om det det hele tatt er relevant?)

(Og hvordan får en gjestebruker på forumet? Vanskelig å komme opp med et nytt brukernavn for hver gang)

[Hege Baggethun2020]

Heisann,

Modulus, eller lengden, til et komplekst tall $z=x+iy$ er gitt ved $\left|z\right|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}$.

For å løse oppgaven din, la $z=a+ib$ og la $w=c+id$.

Vi får

$\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$ og $\left|w\right|=\sqrt{c^2+d^2}$.

Videre får vi $z+w=(a+c)+i(b+d)$ og $z-w=(a-c)+i(b-d)$, og dermed har du:

$|z+w|=\sqrt{(a+c{)}^2+(b+d{)}^2}$ og $|z-w|=\sqrt{(a-c{)}^2+(b-d{)}^2}$.

Kvadrer begge uttrykk, legg sammen og dermed når du konklusjonen ganske fort:

${|z+w|}^2+{|z-w|}^2=(a+c{)}^2+(b+d{)}^2+(a-c{)}^2+(b-d{)}^2$
${|z+w|}^2+{|z-w|}^2=a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bd+d^2$
${|z+w|}^2+{|z-w|}^2=2(a^2+b^2)+2(c^2+d^2)$
${|z+w|}^2+{|z-w|}^2=2{\left|z\right|}^2+2{\left|w\right|}^2$

Jeg er usikker på hvordan du oppretter gjestebruker på forumet, men en av moderatorene her svarer sikkert på det

Hilsen Hege.

[Hege Baggethun2020]

Vet at abs(z-w) er avstanden mellom z og w, men skjønner ikke hvordan jeg går videre derfra (eller om det det hele tatt er relevant?)

Anbefaler deg å eksperimentere med å tegne de to vektorene z og w i planet, og multiplisere, addere, subtrahere dem osv. Det er god trening og gir god forståelse for oppgaven du forsøker å løse.

Det kan også være nyttig å vite at $|z-w|$ er avstanden fra $w$ til $z$, mens $|z+w|$ er avstanden fra $-w$ til $z$.