Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.
[tex]r = {2sin\theta}[/tex] og [tex]r = {2cos\theta}[/tex]
når [tex]\theta \epsilon [0,\pi][/tex]
Kurvene skjærer hverandre i to punkter. Finn koordinatene til skjæringspunktene.
Jeg kommer fram til at
[tex]{tan\theta} = 1[/tex]
og at det ene skjæringspunktet dermed er ([symbol:rot]2, [symbol:rot]2)
Jeg kommer ikke fram til noe annet skjæringspunkt, til tross for at jeg ser på kalkulatoren at det er to punkter i det gitte intervallet.
Du finner ikke alle skjæringspunktene ved å løse likningen sinθ = cosθ! Husk at punktene på disse to kurvene har koordinatene av på formen (r*cosθ,r*sinθ), dvs. at (2*cos2θ, 2*cosθ*sinθ) (r = 2*cosθ) og (2*cosθ*sinθ, 2*sin2θ) (r = 2*sinθ) der θε[0,π]. M.a.o. finner vi skjæringspunktene mellom disse to kurvene ved å bestemme de par (α,β) som tilfredsstiller
(2*cos2α, 2*cosα*sinα) = (2*cosβ*sinβ, 2*sin2β),
som er ekvivalent med likningssystemet
(1) cos2α = cosβ*sinβ,
(2) cosα*sinα = sin2β.
Anta at cosα ≠ 0 og cosβ*sinβ ≠ 0, dvs. at α ≠ π /2 og β ≠ 0, π . I så fall kan vi dele likning (2) med likning (1), som gir tanα = tanβ. Ettersom tanx er positiv og strengt voksende i (0,π/2), negativ og strengt voksende i (π/2,π) samt at α og βer ligger i unionen av disse to intervallene, må α = β. Innsatt i likningssystemet (1)-(2) gir dette sinα = cosα, i.e. tanα = 1. Ergo er α = β = tan[sup]-1[/sup]1 = π/4 en løsning av likningssystemet (1)-(2) som gir oss skjæringspunktet ([symbol:rot]2, [symbol:rot]2).
Videre får vi vha av (1)-(2) at cosα = 0 hvis og bare hvis sinβ = 0. Og cosα = sinβ = 0 medfører at (α,β) = (π/2,0) og (α,β) = (π/2,π). Begge disse to løsningene av likningssystemet (1)-(2) gir oss skjæringspunktet (0,0).
Summa summarum har vi altså kommet frem til at de to kurvene har to skjæringspunkter, nemlig (0,0) og ([symbol:rot]2, [symbol:rot]2).
Last edited by Solar Plexsus on 23/04-2006 20:51, edited 1 time in total.
Fasitsvaret er riktig! I farten fikk jeg at cos([symbol:pi]/4) = sin([symbol:pi]/4) = 1/2, men svaret er naturligvis 1/[symbol:rot]2, Dermed blir skjæringspunktet ikke (1,1), men ([symbol:rot]2,[symbol:rot]2).
