Grenseverdier

[huff]

en funksjon f er gitt ved:

f(x)=(3x+1)/(x+sqrt(4x^2+5))

Bestem grenseverdiene lim x → -∞ og lim x → +∞ ved REGNING.

HELP.

[josi]

en funksjon f er gitt ved:

f(x)=(3x+1)/(x+sqrt(4x^2+5))

Bestem grenseverdiene lim x → -∞ og lim x → +∞ ved REGNING.

HELP.

Forsøk å dele på x i teller og nevner.

[Mattebruker]

Gitt f( x ) = $\frac{3x+1}{x+\sqrt{4x^2+5}}$ = $\frac{3x+1}{x+\left|2x\right|\sqrt{1+\frac{5}{4x^2}}}$

Hint:

$\left|2x\right|$ = 2x når x$\to$+$\mathrm{\infty }$

$\left|2x\right|$ = -2x når x $\to$- $\mathrm{\infty }$

[huff]

Jeg sitter fortsatt fast, kunne du vist hele utregningen?

[Mattebruker]

For å få tak i grenseverdien deler vi kvart ledd i teljar og nemnar på x. Da får vi

f( x ) = $\frac{3+\frac{1}{x}}{1+2\sqrt{1+\frac{5}{4x^2}}}$ når x $>$ 0


f( x ) = $\frac{3+\frac{1}{x}}{1-2\sqrt{1+\frac{5}{4x^2}}}$ når x $<$ 0

Når x $\to$ $\pm$ $\mathrm{\infty }$ , vil begge " småbrøkane " gå mot null.

Da står vi tilbake med 3 i teljar og 1 under rotteiknet i nemnar.

Kva skjer då med f( x ) når x $\to$ + $\mathrm{\infty }$ ( - $\mathrm{\infty }$ ) ?

[josi]

Jeg sitter fortsatt fast, kunne du vist hele utregningen?

$f(x)=\frac{3x+1}{x+\sqrt{4x^2+5}}=\frac{\frac{3x}{x}+\frac{1}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{\sqrt{4x^2+5}}{x}}=\frac{\frac{3x}{x}+\frac{1}{x}}{\frac{x}{x}+\sqrt{\frac{4x^2}{x^2}+\frac{5}{x^2}}}$
$\underset{x\to inf}{lim}f(x)=\frac{3}{1+\sqrt{4}}=\frac{3}{1+2}=1$

[Mattebruker]

For å få tak i grenseverdiane oppgava spør etter , løner det seg å først omforme rotuttrykket :

$\sqrt{4x^2+5}$ = $\sqrt{4x^2(1+\frac{5}{4x^2})}$ = $\sqrt{4x^2}$$\cdot$$\sqrt{1+\frac{5}{4x^2}}$ = $\left|2x\right|$$\cdot$$\sqrt{1+\frac{5}{4x^2}}$

OBS ! $\sqrt{x^2}$ = $\left|x\right|$

$\left|x\right|$ = x når x > 0

$\left|x\right|$ = - x når x < 0

Minner om at Josi si løysing har som føresetnad at x $\to$ + $\mathrm{\infty }$

Når x $\to$ -$\mathrm{\infty }$ , får vi ein annan grenseverdi ( jamfør mitt forrige innlegg )

[josi]

Du har rett! Mitt forslag forutsetter at x går mot pluss uendelig.