Differensiallikningar

[geil]

Hei!
Har ei oppgåve som eg ikkje kjem heilt i mål med.
Kan nokon hjelpe?

Oppgåve 5.29 a Sigma R2 2015

Oppgåve 5.29
Løys dei t0 differensiallikningane:

a) xy = (- 1 - x^2) · y^( ʹ)
Når eg løyser oppgåve får eg følgande

u = (- 1 - x^2)

∫ 1/y · dy = ∫ 1/( u ) · x · du/(- 2x)
∫ 1/y · dy = - 1/( 2 ) ∫ 1/( u ) · du
ln ǀyǀ = - 1/( 2 ) ln ǀuǀ + C_1
e^(ln ǀyǀ) = e^(ln u^(- 1/( 2 ))+ C_1 )
ǀyǀ = e^( C_1 )· e^(〖u 〗^(- 1/( 2 )) )
y = C· 1/√u
y = C/√(-1 - x^2)

fasiten gir svaret

y = C/√(1 + x^2)

korleis kjem ein fram til dette.
nokon som kan hjelpe?

[Mattebruker]

Separerer likninga i x-del og ein y-del. Da endar vi opp med

$\frac{dy}{y}$ = $\frac{-xdx}{x^2+1}$ = $-\frac{1}{2}$ $\frac{2x}{x^2+1}$ dx = $-\frac{1}{2}$ $\frac{(x^2+1{)}^{\prime }}{x^2+1}$ dx

Integrerer opp V.S. og H.S. kvar for seg , og får

ln$\left|y\right|$= $-\frac{1}{2}$ ln(x${}^2$ + 1 ) = ln(x${}^2$ + 1)${}^{-\frac{1}{2}}$ = ln$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ + Konst.

Håpar denne framstillinga verkar oppklarande .