Stigningstallet til en linje

[essie]

Hvordan finner man stigningstallet til en linje når man vet parameterfremstillingen? Jeg har prøvd å vri hodet, men er helt blank på denne. Noen hint?

[Aleks855]

Hvis linja er parameterfremstilt, så har du $x$ og $y$ som funksjoner av en parameter $t$ (eller hva enn variablene er kalt i din).

Derfra har vi at $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}$. Med andre ord deriverer du $x$ og $y$ med hensyn på $t$, og deler dem.

[essie]

Denne skjønte jeg ingenting av, men jeg prøvde og det stemte. Parameterfremstillingen var x=1-t og y=3-2t. Derivert blir altså dette -2. Betyr det generelt at i tilfeller hvor man har en slik parameterfremstilling kan man bare derivere for å finne stigningstallet? Hva er teorien bak? Det står ingenting om dette i læreboken (sinus) så vidt jeg ser.

[Aleks855]

Stigningstallet til ei linje er alltid $\frac{\text{endring i y-retning}}{\text{endring i x-retning}}$, ofte kjent som $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$. Det er det samme prinsippet som brukes her, men vi må hente ut de individuelle $\mathrm{\Delta }$-ene fra parameterfremstillinga av $x$ og $y$.

[essie]

Takk takk

[SveinR]

En alternativ måte å tenke på så lenge vi har en rett linje:

"Parameterfremstillingen var $x=1-t$ og $y=3-2t$"

Dette betyr at dersom du øker $t$ med én, så vil $x$ synke med $1$ og $y$ synke med $-2$. Det betyr at vi kan sette $\mathrm{\Delta }x=-1$ og $\mathrm{\Delta }y=-2$ (om dette er vanskelig å se er et lurt tips å tegne en hjelpefigur for linja!). Vi får derfor

$stigningstall=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{-2}{-1}=2$

Hva får du da om parameterfremstillingen var f.eks. $x=3+4t$ og $y=2-8t$ ?