Delvis integrasjon?

[Gir opp]

Hei,

Jeg regner med dette ubestemte integralet skal løses ved hjelp av delvis integrasjon, men får det ikke til ...


Integralet av x * (x+3)^5 dx


Er det lurest å velge v= x og u`= (x+3)^5 ?

Det er jo lett å få finne svaret på diverse integral-kalkulatorer, men jeg skulle gjerne hatt en grei forklaring også

[Mattebruker]

Svaret på ditt spørsmål er eit ubetinga JA !

[Gir opp]

Hei, Mattegjest!

Hvorfor det?

[Mattebruker]

Velg x = v og (x +3 )${}^5$ = u'

Delvis integrasjon gir

$\int$x (x +3 )${}^5$ dx = x $\frac{1}{6}$( x +3 )${}^6$ - $\int$x'$\cdot$ $\frac{1}{6}$ ( x +3 )${}^6$dx =

$\frac{1}{6}$x$\cdot$ ( x + 3 )${}^6$ - $\frac{1}{6}$$\int$( x + 3 )${}^6$dx

= .......................................................... ( prøv å fullføre og samanlikne med int-kalkulator )

[Gir opp]

Ja, så langt kom jeg også.

Takk <3

Skal se nærmere på det, men hvorfor er det mer praktisk å velge v=x og u`= (x+3)^5


Prøver bare å lære noe lurt av dette eksempelet

[Mattebruker]

Alternativt kan vi velge x = v' og ( x + 3 )${}^5$ = u. Men da får vi problem når vi skal integrere opp siste leddet ( v $\cdot$ u' ) = $\int$ $\frac{1}{2}$x${}^2$$\cdot$5 ( x + 3 )${}^4$ dx

[SveinR]

Skal se nærmere på det, men hvorfor er det mer praktisk å velge v=x og u`= (x+3)^5


Prøver bare å lære noe lurt av dette eksempelet

Vi ønsker å ende opp med et integral som er enklere å integrere enn det vi startet med. Og det integralet vi ender med er "det motsatte" av det vi velger som $v$ og $u^{\prime }$, altså det vil ha $v^{\prime }$ og $u$ som faktorer. For at dette skal bli enklere, lønner deg seg gjerne å velge en $v$ som forenkles når den deriveres, samtidig som vi greit klarer å integrere $u^{\prime }$.

Siden den ene faktoren din er $x$, og denne forenkles til det svært så greie $1$ når den deriveres, er dette ofte et meget gunstig valg for $v$.

[Gir opp]

Takk, begge to!


Altså lurt å finne en v som blir enklere ved derivasjon. Det var det jeg trengte.
Så hva med e^x, blir den ofte valgt som u`, da? Siden den alltid er den samme?

[SveinR]

Så hva med e^x, blir den ofte valgt som u`, da? Siden den alltid er den samme?

Ja, det er ofte et lurt valg, siden den er lett å integrere, og heller ikke blir noe "styggere".

[Gir opp]

Takk!