Likning med sin og cos

[Guest]

Jeg sliter med en likning, kan noen hjelpe?

-100cos([symbol:pi]t/6) + 173sin([symbol:pi]t/6) = 100

Hvordan går jeg frem for å luke ut t?

[Solar Plexsus]

-100*cos(πt/6) + 173*sin(πt/6) = 100

173*sin(πt/6) = 100 - 100*cos(πt/6)

173[sup]2[/sup]*sin[sup]2[/sup](πt/6) = 100[sup]2[/sup][1 - cos(πt/6)][sup]2[/sup]

173[sup]2[/sup][1 - cos[sup]2[/sup](πt/6)] = 100[sup]2[/sup][1 - 2*cos(πt/6) + cos[sup]2[/sup](πt/6)] osv.

39929*cos[sup]2[/sup](πt/6) - 20000*cos(πt/6) - 19929 = 0 osv.

[ahe753]

$-100cos(\frac{\pi t}{6})+173sin(\frac{\pi t}{6})=100$

$-cos(\frac{\pi t}{6})+1,73sin(\frac{\pi t}{6})=1$

$1,73sin(\frac{\pi t}{6})=1+cos(\frac{\pi t}{6})$

$(1,73sin(\frac{\pi t}{6}){)}^2=(1+cos(\frac{\pi t}{6}){)}^2$

$1,{73}^{2}si{n}^2(\frac{\pi t}{6})=1+2cos(\frac{\pi t}{6})+co{s}^2(\frac{\pi t}{6})$

$1,{73}^2(1-co{s}^2(\frac{\pi t}{6}))=1+2cos(\frac{\pi t}{6})+co{s}^2(\frac{\pi t}{6})$

$(1+1,{73}^2)co{s}^2(\frac{\pi t}{6})+2cos(\frac{\pi t}{6})+1-1,{73}^2=0$

Dersom vi nå setter

$x=cos(\frac{\pi t}{6})$

så kjenner vi lettere igjen andregradsligningen

$(1+1,{73}^2)x^2+2x+1-1,{73}^2=0$

Løser denne mhp x:

$x=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4(1+1,{73}^2)(1-1,{73}^2)}}{2(1+1,{73}^2)}$

$x=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4(1-1,{73}^2)}}{2(1+1,{73}^2)}$

Denne gir x-verdiene:

$x\approx 0,245\wedge x\approx -0,746$

Så løser vi mhp t:

$cos(\frac{\pi t}{6})=0,245\Rightarrow \frac{\pi t}{6}=arccos(0,245)\Rightarrow t=\frac{6\cdot arccos(0,245)}{\pi }$

$cos(\frac{\pi t}{6})=-0,746\Rightarrow \frac{\pi t}{6}=arccos(-0,746)\Rightarrow t=\frac{6\cdot arccos(-0,746)}{\pi }$

Jeg har en følelse av at noe er gjort galt her, men jeg er for trøtt til å finne ut av det nå... Om ovenstående kan være en del av løsningsmengden til t, så er det i så fall kun en del av løsningsmengden til t, ettersom dette er periodiske funksjoner og ofte har uendelig mange løsninger.

[Guest]

Hvilke to regler har dere brukt her?

Tenker på :

(1+cos(..))[sup]2[/sup] = 2cos(..)+cos[sup]2[/sup](..)

og

sin[sup]2[/sup](..) = 1-cos[sup]2[/sup](..)

[Guest]

.. og hva betyr det egentlig når [sup]2[/sup] står etter cos eller sin og ikke etter hele uttrykket?