Oppgåve 7.59 Sigma R2 2015
I del oppgave d) Står det 2/5* f (x) - 1/5* f ' f ( x) + C
I del oppgåve b) står det 5/2
Kva er det riktige talet.
Bruker vel delvis integrasjon i utrekning og brukar f (x) frå del b)
Re: Differensiallikningar
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
legg heller inn hele oppgava...dahle-g wrote:Oppgåve 7.59 Sigma R2 2015
I del oppgave d) Står det 2/5* f (x) - 1/5* f ' f ( x) + C
I del oppgåve b) står det 5/2
Kva er det riktige talet.
Bruker vel delvis integrasjon i utrekning og brukar f (x) frå del b)
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
Her er heileoppgåva
Har lagt med løysinga på a) og b)
Det er del d) som er tvetydig og kva f (X) på del e) skal ein bruke
er det løysinga i b)
Oppgåve 7.59 Sigma R2 2015
Vi har likninga y ʹʹ + 2y ʹ + 5y = 0.
a) Finn den generelle løysinga.
b) Finn funksjonsuttrykket f (x), der f er ei løysingskurve til likninga gjennom origo, og der
f ʹ (0) = 5
c) Skisser grafen til f.
d) Vis at vi har
∫▒〖f (x)〗 dx = 2/5 · f (x) – 1/5 · f ʹ (x) + C
e) Rekn ut ∫_0^(π/2)▒〖f (0)〗 dx
a) Finn den generelle løysinga.
y ʹʹ + 2y ʹ + 5y = 0.
Den karakteristiske likninga er
r^2 + 2r + 5 = 0
Likninga har løysingane:
r =(- b ± √(b^2-4c))/2 = (- 2 ± √(2^2- 4 · 5))/2 = – 2/2 ± √(4 -20)/2 = – 1 ± √(- 16)/2 =– 1 ± (√16 · √(-1))/2 – 1 ± 4/2 √(- 1)
= – 1 ± 2√(- 1) = – 1 ± 2ὶ
Den karakteristiske likninga har ingen reelle løysingar, men to komplekse løysingar
r = p ± qi
Løysinga til differensiallikninga blir
y = e^px·(A sin〖qx+〗 B cosqx )
Den generelle løysinga blir:
y = e^(-x)·(A sin〖2x+〗 B cos2x )
b) Finn funksjonsuttrykket f (x), der f er ei løysingskurve til likninga gjennom origo, og der
f ʹ (0) = 5
Vi set y (0) = 0
e^(-x)·(A sin〖2x+〗 B cos2x ) = 0
e^(-0)·(A sin〖2·0+〗 B cos〖2 ·0〗 ) = 0
1·(A ·0+B ·1) = 0
1 · (B) = 0
B = 0
Vi finn y ʹ
Y ʹ = (e^(-x)·(A sin〖2x+〗 B cos2x ))^( ʹ)
= – e^(-x)·(A sin〖2x+〗 B cos2x ) + e^(-x)·(2A cosin〖2x-〗 2B sin2x )
Vi ser y ʹ (0) = 5
– e^(- (0))·(A sin〖2 ·0+〗 B cos2 ·0) + e^(-0)·(2A cos〖2 ·0-〗 2B sin2·0) = 5
– 1 · (A · 0 + B · 1) + 1 · (2A · 1 – 2B · 0) = 5
– 1 · (B) + 1· (2A) = 5
– B + 2A = 5
2A = B + 5
A = (B + 5)/2
A = (B + 5)/2
A = (0 + 5)/2
A = 5/2
Den spesielle løysingskurva er
y = 5/2 e^( – x)· sin2x
Har lagt med løysinga på a) og b)
Det er del d) som er tvetydig og kva f (X) på del e) skal ein bruke
er det løysinga i b)
Oppgåve 7.59 Sigma R2 2015
Vi har likninga y ʹʹ + 2y ʹ + 5y = 0.
a) Finn den generelle løysinga.
b) Finn funksjonsuttrykket f (x), der f er ei løysingskurve til likninga gjennom origo, og der
f ʹ (0) = 5
c) Skisser grafen til f.
d) Vis at vi har
∫▒〖f (x)〗 dx = 2/5 · f (x) – 1/5 · f ʹ (x) + C
e) Rekn ut ∫_0^(π/2)▒〖f (0)〗 dx
a) Finn den generelle løysinga.
y ʹʹ + 2y ʹ + 5y = 0.
Den karakteristiske likninga er
r^2 + 2r + 5 = 0
Likninga har løysingane:
r =(- b ± √(b^2-4c))/2 = (- 2 ± √(2^2- 4 · 5))/2 = – 2/2 ± √(4 -20)/2 = – 1 ± √(- 16)/2 =– 1 ± (√16 · √(-1))/2 – 1 ± 4/2 √(- 1)
= – 1 ± 2√(- 1) = – 1 ± 2ὶ
Den karakteristiske likninga har ingen reelle løysingar, men to komplekse løysingar
r = p ± qi
Løysinga til differensiallikninga blir
y = e^px·(A sin〖qx+〗 B cosqx )
Den generelle løysinga blir:
y = e^(-x)·(A sin〖2x+〗 B cos2x )
b) Finn funksjonsuttrykket f (x), der f er ei løysingskurve til likninga gjennom origo, og der
f ʹ (0) = 5
Vi set y (0) = 0
e^(-x)·(A sin〖2x+〗 B cos2x ) = 0
e^(-0)·(A sin〖2·0+〗 B cos〖2 ·0〗 ) = 0
1·(A ·0+B ·1) = 0
1 · (B) = 0
B = 0
Vi finn y ʹ
Y ʹ = (e^(-x)·(A sin〖2x+〗 B cos2x ))^( ʹ)
= – e^(-x)·(A sin〖2x+〗 B cos2x ) + e^(-x)·(2A cosin〖2x-〗 2B sin2x )
Vi ser y ʹ (0) = 5
– e^(- (0))·(A sin〖2 ·0+〗 B cos2 ·0) + e^(-0)·(2A cos〖2 ·0-〗 2B sin2·0) = 5
– 1 · (A · 0 + B · 1) + 1 · (2A · 1 – 2B · 0) = 5
– 1 · (B) + 1· (2A) = 5
– B + 2A = 5
2A = B + 5
A = (B + 5)/2
A = (B + 5)/2
A = (0 + 5)/2
A = 5/2
Den spesielle løysingskurva er
y = 5/2 e^( – x)· sin2x
ang d)
∫〖f (x)〗 dx = 2/5 · f (x) – 1/5 · f ʹ (x) + C
hvis du deriverer begge sider så fås den 2. ordens ODE øverst.
Men med feil fortegn:
f(x) = 0,4*f ' (x) - 0,2*f '' (x)
f ''(x) -2*f ' (x) + 5*f(x) = 0
∫〖f (x)〗 dx = 2/5 · f (x) – 1/5 · f ʹ (x) + C
hvis du deriverer begge sider så fås den 2. ordens ODE øverst.
Men med feil fortegn:
f(x) = 0,4*f ' (x) - 0,2*f '' (x)
f ''(x) -2*f ' (x) + 5*f(x) = 0
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
Her er heileoppgåva
Har lagt med løysinga på a) og b)
Det er del d) som er tvetydig og kva f (X) på del e) skal ein bruke
er det løysinga i b)
Etter å ha funnet , så finner du y´og y´´.
Legg så sammen . Du skal da få integranden y.
Det er en trykkfeil i min oppgavetekst fra 2008.
Det står men det skal stå
Har lagt med løysinga på a) og b)
Det er del d) som er tvetydig og kva f (X) på del e) skal ein bruke
er det løysinga i b)
Etter å ha funnet
Legg så sammen
Det er en trykkfeil i min oppgavetekst fra 2008.
Det står
Her er mi løysing på d)
Er dette riktig tenkt
d) Vis at vi har
∫▒〖f (x)〗 dx = – 2/5 · f (x) – 1/5 · f ʹ (x) + C
y ʹʹ + 2y ʹ + 5y = 0
5y = –2y ʹ – y ʹʹ
y = – 2/5 y ʹ – 1/5 y ʹʹ
∫▒〖f (x)〗 dx = ∫▒(– 2/5 · f ʹ (x) – 1/5 · f ʹʹ (x)) dx
∫▒〖f (x)〗 dx = – 2/5 · f (x)– 1/5 · f ʹ (x) + C
Er dette riktig tenkt
d) Vis at vi har
∫▒〖f (x)〗 dx = – 2/5 · f (x) – 1/5 · f ʹ (x) + C
y ʹʹ + 2y ʹ + 5y = 0
5y = –2y ʹ – y ʹʹ
y = – 2/5 y ʹ – 1/5 y ʹʹ
∫▒〖f (x)〗 dx = ∫▒(– 2/5 · f ʹ (x) – 1/5 · f ʹʹ (x)) dx
∫▒〖f (x)〗 dx = – 2/5 · f (x)– 1/5 · f ʹ (x) + C
Her er mitt svar på e)
Er dette riktig
e) Rekn ut ∫_0^(π/2)▒〖f (x)〗 dx
y = 5/2 e^( – x) · sin2x
y ʹ = – 5/2 e^( – x) · sin2x + 5/2 e^( – x)· 2 cos 2x
= – 5/2 e^( – x) · sin2x + 5 e^( – x)·cos 2x
set inn f(x) f ʹ (x)
∫_0^(π/2)▒〖f (x)〗 dx = – 2/5 · f (x) – 1/5 · f ʹ (x) + C
= – 2/5 · 5/2 e^( – x) · sin 2x – 1/5 · (– 5/2 e^( – x) · sin 2x + 5 e^( – x)·cos 2x) + C
= – e^( – x) · sin 2x + 1/2 e^( – x)· sin 2x – e^( – x)·cos 2x + C
= – 1/2 e^( – x) · sin 2x – e^( – x)·cos 2x + C
∫_0^(π/2)▒〖f (x)〗 dx = [– 1/2 e^( – x)· sin2x – e^( – x)·cos2x ] ■(π/2@0)
= –1/2 e^( – π/2)·sin〖2·π/2〗 – e^( – π/2)·cos〖2·π/2〗 – (–1/2 e^( 0 )·sin〖2·0〗 – e^( 0)·cos〖2·0〗 )
= –1/2 e^( – π/2)·sinπ – e^( – π/2)·cosπ – (–1/2 e^( 0 )·sin〖2·0〗 – e^( 0)·cos〖2·0〗 )
= –1/2 e^( – π/2)·0 – e^( – π/2)·(-1) – (–1/2 e^( 0 )·0 – e^( 0)·1)
= – e^( – π/2)·(-1) – ( – 1·1)
= e^( – π/2) + 1
≈ 0,208 + 1
≈ 1,208
Er dette riktig
e) Rekn ut ∫_0^(π/2)▒〖f (x)〗 dx
y = 5/2 e^( – x) · sin2x
y ʹ = – 5/2 e^( – x) · sin2x + 5/2 e^( – x)· 2 cos 2x
= – 5/2 e^( – x) · sin2x + 5 e^( – x)·cos 2x
set inn f(x) f ʹ (x)
∫_0^(π/2)▒〖f (x)〗 dx = – 2/5 · f (x) – 1/5 · f ʹ (x) + C
= – 2/5 · 5/2 e^( – x) · sin 2x – 1/5 · (– 5/2 e^( – x) · sin 2x + 5 e^( – x)·cos 2x) + C
= – e^( – x) · sin 2x + 1/2 e^( – x)· sin 2x – e^( – x)·cos 2x + C
= – 1/2 e^( – x) · sin 2x – e^( – x)·cos 2x + C
∫_0^(π/2)▒〖f (x)〗 dx = [– 1/2 e^( – x)· sin2x – e^( – x)·cos2x ] ■(π/2@0)
= –1/2 e^( – π/2)·sin〖2·π/2〗 – e^( – π/2)·cos〖2·π/2〗 – (–1/2 e^( 0 )·sin〖2·0〗 – e^( 0)·cos〖2·0〗 )
= –1/2 e^( – π/2)·sinπ – e^( – π/2)·cosπ – (–1/2 e^( 0 )·sin〖2·0〗 – e^( 0)·cos〖2·0〗 )
= –1/2 e^( – π/2)·0 – e^( – π/2)·(-1) – (–1/2 e^( 0 )·0 – e^( 0)·1)
= – e^( – π/2)·(-1) – ( – 1·1)
= e^( – π/2) + 1
≈ 0,208 + 1
≈ 1,208