bestemme a og b slik at funksjonen blir deriverbar

[ravnen]

Hadde satt stor pris på om noen kunne hjulpet meg men den oppgave.

Bestem konstantene a og b slik at funksjonen g blir deriverbar for x =1.

g(x) = x^2 -bx ≥ 1
ax^2 +1 > 1
Fasit: a= 2 og b=-2

Funksjonen har delt funksjonsuttrykk, vet ikke hvordan jeg skal skrive det, men håper det er forståelig likevel

På forhånd takk!

[Janhaa]

https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=18638

[ravnen]

Takk, men forstår likevel ikke, får ikke riktig svar...

[Mattebruker]

Hint: Funksjonen g er deriverbar i x = 1 $\iff$ g er kontinuerleg i x = 1 ( samanhengande graf ) $\wedge$ grenseverdien lim ( x $\to$ 1 ) g'(x) eksisterer ( grafen til g har ein "glatt" overgang i x = 1 )
Desse krava gir to likningar med to ukjende ( a og b ), og slik blir a og b eintydig bestemt.

[jos]

Jeg tror at du mener at dette er oppgaven:

$g(x)=x^2-bx$ for $x\ge 1$

$g(x)=a{x}^2+1$for$x<1$

Bestem a og b slik at g(x) er deriverbar for x = 1.

For at g(x) skal være deriverbar for x = 1, må g(x) være kontinuerlig for x = 1.

Da må vi ha at på grensen når x går mot 1, at

$x^2-bx=a{x}^2+1$ for x = 1 og

Vi må også ha at på grensen når x går mot 1, at $(x^2-bx)´=(a{x}^2+1)´=>2x-b=2ax$

Ved å sette x = 1, får vi da de to likningene:

$1-b=a+1$

$2-b=2a$

Da følger:

$a=-b$ og dette impliserer at $a=2,b=-2$

[ravnen]

Tusen takk for svar, var til stor hjelp!