Radioaktiv nedbrytning med påskudd årlig

[Nebuchadnezzar]

Lenge siden jeg har post her, he he. Har spurt noen fysikkere og får fortsatt ikke ting til å helt stemme.

Ett radioaktivt materialet har en halveringstid på $t_{1/2}$ år, og til å begynne med har vi en mengde $N_0$ av stoffet. Videre spør oppgaven om hvor lang tid (hvor mange halveringsperioder) det tar før det er igjen 1/5 av det opprinnelige stofftet og hvor mye radioaktivt materialet som er igjen etter $3$ halveringsperioder.

Denne biten går fint, her setter jeg opp likningen og løser den

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-\lambda \cdot N}$

Grunnet forurensning i området blir det årlig tilført en mengde $a$ radioaktivt materialet til området.
Sett opp den nye differensiallikningen og igjen besvar spørsmålene ovenfor.

Problemet kommer når jeg skal svare på denne oppgaven. Jeg ser to muligheter når det kommer til å sette opp differensiallikningen

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-\lambda \cdot N+a\text{eller}\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-\lambda (N-a)}$

Førstnevnte liker jeg fordi når endringen er null, altså når det radioaktive materialet stabiliserer seg. Stabiliserer det seg på nivået $a/\lambda$ som i mine øyne gir mening. Vi legger på $a$ hvert år, og før eller siden er det såpass mye materialet at i løpet av ett år, mister man like mye som man slenger inn. Den andre differensiallikningen får da ut $a$ som gir mindre mening. Legger vi på 1kg hvert år, gir det liten mening at den stabiliserer seg på $1$ kg.

Det jeg liker med differensiallikningen til høyre er at vi ganger proporsjonalitetskonstanten med hele stoffmengden. Det står jo at endringen er proporsjonal med den gjenværende stoffmengden, og denne må jo være $N+a$ ikke sant? Den første differensiallikningen tar jo ikke i betraktning dette.

Ett annet problem med den første differensiallikningen er at den gir meg følgende løsning

$N(t)=C{e}^{-\lambda t}+\frac{a}{\lambda }$

Her må $C$ og $\lambda$ finnes ut i fra initialbetingelsene $N(0)=N_0$ og $N(t_{1/2})=\frac{1}{2}{N}_0$, men dette leder til ett ulineært likningsett som jeg ikke klarer å løse analytisk, bare numerisk for gitte verdier.

Det jeg spør etter er nok hvilken differensiallikning blir rett og er det mulig å besvare den opprinnelige problemstillingen nøyaktig?

[Janhaa]

Har ikke sett mye på dette, men ville gått for den første.
Ved:
$N(t_{0,5})=N_o/2$
gjelder:
$t_{0,5}=\frac{\ln (2)}{\lambda }$

slik at:

$C=N_o$

vet ikke om det stemmer...

[Emilga]

Husk å tilordne alle variable enheter! Dersom $a$ er årlig tilført stoffmengde har den enheten kg, og dermed blir førstnevnte difflikning ufysisk (siden alle enheter i en likning må matche). (Siden dN/dt har enhet kg/år, og $1/\lambda$ har enhet $år^{-1}$ og $N$ enhet kg.)

Dersom vi antar kontinuerlig tilføring av stoffmengde, konverterer vi mengden til en årlig rate: $\alpha =\frac{a}{1\text{ år}}$.

Difflikningen blir da:

$$\frac{dN}{dt}=-\lambda N+\alpha$$.

Vi løser denne ved integrerende faktor og får:

$$N(t)=e^{-\lambda t}{N}_0+\alpha \frac{1-e^{-\lambda t}}{\lambda }$$.

Mer følgende kvalitative egenskaper:

For $|T|<<1$ får vi $N(t)\approx N_0$, altså vil den opprinnelige stoffmengden dominere.

For $|T|>>1$ får vi $N(t)\approx \frac{\alpha }{\lambda }$, som kan ha en hvilken som helst positiv verdi (merk enhet kg!), avhengig av hvor fort vi tilfører nytt stoff i forhold til hvor fort det henfaller. (Tenk uran med halveringstid på milliarder av år vs Technetium med halveringstid på 6 timer.)

[Nebuchadnezzar]

Yes lurt å tenke på dimensjonsanalysen, godt å høre vi fikk samme uttrykk.

Men hvordan bestemmes nedbrytningsraten $\lambda$? Var dette som ga meg hodeverk

[Emilga]

Slik jeg tolker oppgaven, skal vi bruke samme verdi for $\lambda$ gjennom hele oppgaven, siden denne forblir uendret enten vi tilfører nytt stoff eller ikke. (Det er jo tross alt en stoffkonstant.)

Altså bestemmes nedbrytningsraten fra første difflikning:

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-\lambda \cdot N⟹N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}.}$

Gitt $N(t_{1/2})=\frac{1}{2}{N}_0$ får vi:

$$\frac{1}{2}{N}_0=N_0{e}^{-\lambda t_{1/2}}⟹\lambda =\frac{\ln 2}{t_{1/2}}.$$

Videre spør oppgaven om hvor lang tid (hvor mange halveringsperioder) det tar før det er igjen 1/5 av det opprinnelige stofftet og hvor mye radioaktivt materialet som er igjen etter 3 halveringsperioder.
[...]
Grunnet forurensning i området blir det årlig tilført en mengde a radioaktivt materialet til området.
Sett opp den nye differensiallikningen og igjen besvar spørsmålene ovenfor.

Fra den nye difflikningen får $N(t)=e^{-\lambda t}{N}_0+\alpha \frac{1-e^{-\lambda t}}{\lambda }$, med $\lambda$ som ovenfor og skal finne $t$ slik at $N(t)=\frac{1}{5}{N}_0$.

Som gir $t=\ln \left(\frac{N_0-\frac{\alpha }{\lambda }}{\frac{1}{5}{N}_0-\frac{\alpha }{\lambda }}\right)/\lambda$.

(Dette uttrykket er bare veldefinert for $\frac{1}{5}{N}_0-\frac{\alpha }{\lambda }>0$, altså må $\frac{1}{5}{N}_0>\frac{\alpha }{\lambda }$. Mao. dersom vi tilfører nytt stoff for raskt i forhold til hvor fort det henfaller, vil stoffmengden aldri reduseres til 1/5 av opprinnelig verdi. Evt. kan vi si at opprinnelig stoffmendge må være minst fem ganger så stor som likevektsmengden for at $N(t)=\frac{1}{5}{N}_0$ skal ha en løsning.)

Samt regne ut $N(3t_{1/2})$.


(Dersom vi antar $\lambda$ som eneste ukjent i likningen $\frac{1}{2}{N}_0=e^{-\lambda t_{1/2}}{N}_0+\alpha \frac{1-e^{-\lambda t_{1/2}}}{\lambda }$, tror jeg ikke den har noen elementære løsninger, siden vi har $\lambda$ både inni og utenfor eksponentialen.)

[Nebuchadnezzar]

Aahhh, der har vi an! At nedbrytningskonstanten er vel konstant, var siste puslespillbrikke som måtte falle på plass.

Takker, merker det er mye påske i hodet atm