Egenverdi til lin. transformasjon

[heidi.]

Finner inget eksempel i boka på det, så jeg må spørre.
La T: M[sub]22[/sub]->M[sub]22[/sub] være gitt ved lin. transformasjonen

Code: Select all

T | a b | = | 2c   a+c |
  | c d |   | b-2c  d  | 

Finn egenverdiene til T.

Kan man ikke i dette tilfellet finne egenverdiene ved å finne det(kI-T)=0?

[Solar Plexsus]

Generelt er det slik at en skalar λ kalles en egenverdi til en lineær operator T:V->V dersom det finnes en vektor v [symbol:ikke_lik] 0 slik at T(x) = λx.

I dette tilfellet er T(x) = Ax, som gir matriselikningen

Code: Select all

[ 2c    a+c] = [λa  λb]
[b-2c    d ]   [λc  λd].

Denne har løsningene λ = -2, λ = -1 og λ = 1.

[heidi.]

Hm, kunne du vist regningen også?

[Solar Plexsus]

Matriselikningen gir oss de 4 likningene

(1) λa = 2c
(2) λb = a + c
(3) λc = b - 2c
(4) λd = d

Likning (4) er ekvivalent med (λ - 1)d = 0, dvs. λ = 1 eller d = 0. Dersom λ = 1, har likningene (1)-(4) løsningene (a,b,c,d) = (2s,3s,s,t) der s og t er vilkårlige tall. Altså er λ = 1 en egenverdi.
Dernest antar vi at λ [symbol:ikke_lik] 1. Dette betyr at d = 0. Videre får vi ved å summere likningene (1)-(3) at λ(a + b + c) = a + b + c, hvilket medfører at a + b + c = 0 i.o.m. at λ [symbol:ikke_lik] 1. Ergo blir a + c = -b, som innsatt i (2) gir λb = -b, i.e. b(λ + 1) = 0. Så enten er λ = -1, som innebærer at (1)-(4) har løsningene (a,b,c,d) = (-2s,s,s,0). Eller så er b = 0, som innsatt i (4) gir λc = -2c, i.e. (λ + 2)c = 0. Altså er c = 0, som impliserer at a = b = c = d = 0, eller λ = -2, som innebærer at (1)-(4) har løsningene (a,b,c,d) = (-s,0,s,0).
Summa summarum har vi funnet at T har tre egenverdier, nemlig λ = 1, λ = -1 og λ = -2.