Polyomdivisjon, hva spør de egentlig etter? Hjelp.

[mhalvorsen]

Hei.
Sitter med en oppgave jeg ikke helt skjønner. Føler jeg har bra på polynomdivisjon, men her forstår jeg rett og slett ikke..
Håper noen smarte hoder der ute kan hjelpe!

Har lagt meg bilde av oppgaven. Det er primært b, men også c jeg lurer på.

Tusen takk på forhånd!

[jos]

Vi har polynomene $P(x),D(x)$. Da vil vi allminnelighet få en rest $r(x)$ hvis vi deler $P(x)$ på $D(x)$.

$\frac{P(x)}{D(x)}=Q(X)+\frac{r(x)}{D(x)}$

Hvis vi multipliserer med $D(x)$ på begge sider av likhetstegnet, får vi

$P(x)=Q(x)\ast D(x)+r(x)$ . Hvis divisjonen går opp, så vil resten $r(x)=0$, og vi får $P(x)=Q(x)\ast D(x)$.

I oppgaven blir du bedt om å dele $P(x)=x^4+2x^3-28x^2+46x-21$ på $D(x)=(x-t)$. Her er det lett å trå feil, men jeg tror det følgende blir resultatet:

$\frac{x^4+2x^3-28x^2+46x-21}{x-t}=x^3+(2+t)x^2+(t^2+2t-28)x+t^3+2t^2-28t+46+\frac{t^4+2t^3-28t^2+46t-21}{x-t}$
Resten er: $t^4+2t^3-28t^2+46t-21$

Her ser man lett at denne resten blir $0$ for $t=1$. Ved å dividere resten på $(t-1)$
får vi $\frac{t^4+2t^3-28t^2+46t-21}{t-1}=t^3+3t^2-25t+21$. Denne blir igjen $0$ for $t=1$ og ved nok en gang å dividere med $t-1$, får vi: $t^2+4t-21$ som blir $0$ for $t=3,t=-7$ Resten kan altså faktoriseres som $(t-1{)}^2(t-3)(t+7)$ og blir dermed $0$ for t_verdiene $1,3,-7$.

[mhalvorsen]

Tusen takk!

Jeg var inne på det sporet, men forstår nå! Hjertelig.

Mvh Magnus