Induksjon >_<

[CiCi]

Sliter skikkelig med en induksjons-oppgave her...
Skal vise ved induksjon på n at formelen:
t(n)=3*(2^n)-n-2
gjelder for alle n€N.

Står helt fast hvordan jeg skal få det til... ;-_-

[klara]

Skal det være no'n flere paranteser her eller? Skjønner ikke helt..

[CiCi]

Nei... Eller kan jo skrive t(n) = (3*(2^n))-n-2 da.

Skjønt det slik at jeg må da finne ut at det funker når n=k og dermed at det funker når n=k+1...men aner ikke hvordan...

[Solar Plexsus]

Her må det mangle noe. Vanligvis er t(n) en sum, f.eks. t(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n. Så kan det vises ved induksjon at t(n) = n(n + 1)/2.

[CiCi]

Ah beklager. Dere har selvfølgelig rett. Stod rett ovenfor men jeg tenkte ikke sammenhengen...
t: N -> R definert ved:
t(1)=3
t(n)=2*t(n-1)+n, n >= 2

Har regnet dette tidligere og funnet ut for t(2) og t(3) at de er hhv 8 og 18.

[Solar Plexsus]

Du skal gi et induksjonsbevis for at den rekursive funsjonen t:N->R definert ved

(1) t(n) = 2*t(n - 1) + n, n ≥ 2 med t(1) = 3

er gitt ved den eksplisitte formelen

(2) t(n) = 3*2[sup]n[/sup] - n - 2.

Bevis:

* Induksjonsbasisen: Ved å sette n = 1 i formel (2), får vi at

t(1) = 3*2 - 1 - 2 = 6 - 3 = 3,

som stemmer med initialbetingelsen i (1).

* Induksjonstrinnet: Anta at (2) er sann for n=k. Herav følger at

t(k + 1) = 2*t(k) + (k + 1) (bruker (1) med n = k + 1)
= 2*(3*2[sup]k[/sup] - k - 2) + (k + 1) (anvender induksjonsantagelen og (2))
= 2*3[sup]k+1[/sup] - 2k - 4 + k + 1
= 2*3[sup]k+1[/sup] - k - 3
= 2*3[sup]k+1[/sup] - (k + 1) - 2

som er formel (2) med n = k + 1.

[CiCi]

Åå... Det blir så forståelig når du gjør det!

Skulle ønske jeg var så flink. Er vel egentlig latterlig enkelt når man kan det?

Jaja... Jeg får pugge videre.

Takker så mye for hjelpen!