Integral

[dahle-g]

Hei!
Nokon som kan hjelpe med denne,
tenkte delvis integrasjon, men kom ikkje mål.
Så tenkte eg substitusjon, men kom ikkje i mål

OPpgæve
Integralet til kvadratrota til(1+x^2)

[Heraclitus]

Skal være mulig med trig sub her.

Den er på formen$\int \sqrt{a^2+u^2}du$

Hvor a > 0

[Mattebruker]

Problem : $\int$ $\sqrt{1+x^2}$ dx
NB! Registrerer at x kan gå frå -$\mathrm{\infty }$ til + $\mathrm{\infty }$. Her er det freistande å bruke x = tanu som "stedfortredar ", u $\in$<-$\frac{\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}$>



Da får vi dx = $\frac{1}{co{s}^{2}u}$ du $\wedge$ $\sqrt{1+x^2}$ = $\frac{1}{cosu}$ som gir


$\int$ $\sqrt{1+x^2}$ dx = $\int$$\frac{1}{co{s}^{3}u}$ du

Kva så med vegen vidare ? Ei mogleg løysing vil vere å utvide integranden med cosu, og deretter innføre endå ein ny variabel ( setje sinu = v ) . Da endar vi opp med

integralet $\int$$\frac{1}{(1-v^2{)}^2}$ dv

Denne integranden kan vi relativt lett splitte opp ettersom $\frac{1}{1-v^2}$ = $\frac{1}{2}$$\cdot$( $\frac{1}{1-v}$ + $\frac{1}{1+v}$ ). Det som no står att burde vere " grei skuring " ( bruke 1. kvadratsetning og integrere ledd for ledd ). God fornøyelse !

P.S. Vil slett ikkje utelukke at der finnast ei enklare løysing på dette problemet.
Uansett kan vi kontrollere sluttsvaret ved derivasjon ( da skal vi kome tilbake til den opphavelege integranden ).

[jos]

En annen måte å gå videre fra $\int \frac{1}{co{s}^{3}u}du$ er delvis integrasjon hvor $\frac{1}{co{s}^{2}u}$ er $u´$.
Denne veien er rimelig kjapp hvis man allerede kjenner til at $\int \frac{1}{cosu}du=ln\frac{1+sinu}{cosu}+C$.

[dahle-g]

Hei!
Når eg bruker Integral calculator
får eg følgande

(ln(kvadratrot(x^2 + 1) + x) + x kvadratrot(x*2+1))/2

Korleis kjem ein fram til dette svaret

[jos]

Vel, du har jo allerede fått noen tips på veien. Legg merke til at hvis $x=tanu,$ så vil $\frac{1}{cosu}=\sqrt{1+x^2}$ og $\frac{1}{2}ln(\frac{1}{cosu}+tanu)=\frac{1}{2}ln(\sqrt{1+x^2}+x)$. Her har du altså den ene halvdelen av svaret.