Parabel

[Guest]

Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven? (tentamensoppgave, 2MX)

Vi skal her ta for oss en parael med brennpunkt i F(0,p) på y-aksen og styrelinje y= -p parallell med x-aksen.

a) Hva blir akse og toppunkt i dene parabelen?

b) Punktet P(x,y) er et vilkårlig punkt i planet. Forklar at avstandene d1 og d2 fra P til brennpunkt og styrelinje er gitt ved:

d1 = [symbol:rot] x^2 + (y-p)^2 og d2 = y + p

c) sett d1 = d2 og vis at likningen for denne parabelen blir y = 1/4p * x^2

[Solar Plexsus]

a) Aksen er den rette linjen gjennom brennpunktet F(0,p) som står vinkelrett på styrelinjen y=-p. Dette betyr at aksen er y-aksen.
Toppunktet T er midtpunktet på linjestykket EF, der E er skjæringspunktet mellom styrelinjen (y=-p) og aksen (y-aksen). Så E(0,-p) og F(0,p), hvilket gir T(0,0). M.a.o. er det origo som er toppunktet.

b) d[sub]1[/sub] er avstanden fra P(x,y) til brennpunktet F(0,p), dvs. at

d[sub]1[/sub] = kv.rot((x - 0)[sup]2[/sup] + (y - p)[sup]2[/sup]) = kv.rot(x[sup]2[/sup] + (y - p)[sup]2[/sup]).

Videre er d[sub]2[/sub] avstanden fra P(x,y) til styrelinja y=-p. Altså er

d[sub]2[/sub] = kv.rot((x - x)[sup]2[/sup] + (y - (-p))[sup]2[/sup]) = |y + p|.

c) Ettersom kurven er en parabel, har den eksentrisitet 1, dvs. at d[sub]1[/sub] = d[sub]2[/sub]. Ergo må

kv.rot(x[sup]2[/sup] + (y - p)[sup]2[/sup]) = |y + p|.

x[sup]2[/sup] + (y - p)[sup]2[/sup] = |y + p|[sup]2[/sup]

x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] - 2py + p[sup]2[/sup] = y[sup]2[/sup] + 2py + p[sup]2[/sup]

x[sup]2[/sup] = 4py

y = x[sup]2[/sup]/(4p).

[Guest]

i opp: hva er akse punktet..

er svaret "aksen er y-aksen" ? eller er vi ute etter et punkt?

og i oppg: "hva er toppunktet?" lurer på om det har noe å si hvilken vei den står? kunne den også hatt bunnpunkt i T(0,0) ? hvis grafen var snudd opp ned. Siden læreren vår snudde grafen andre veien.

takk

[Guest]

Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven? (tentamensoppgave, 2MX)

Vi skal her ta for oss en parael med brennpunkt i F(0,p) på y-aksen og styrelinje y= -p parallell med x-aksen.

a) Hva blir akse og toppunkt i dene parabelen?

b) Punktet P(x,y) er et vilkårlig punkt i planet. Forklar at avstandene d1 og d2 fra P til brennpunkt og styrelinje er gitt ved:

d1 = [symbol:rot] x^2 + (y-p)^2 og d2 = y + p

c) sett d1 = d2 og vis at likningen for denne parabelen blir y = 1/4p * x^2

Vil den hule siden til grafen vende opp eller ned her? er forvirret! :S

[Solar Plexsus]

* Når vi snakker om parabelens akse, er det parabelens symmetriakse det er snakk om. Parabelens brennpunkt befinner seg på denne aksen.

* I dette tilfelle er 4py = x[sup]2[/sup]. Dermed har vi følgende tre muligheter:

(1) p < 0: Parabelen vender den hule siden ned med toppunkt i origo.
(2) p > 0: Parabelen vender den hule siden opp med bunnpunkt i origo.
(3) p = 0: Dette medfører at x[sup]2[/sup] = 4py = 0, dvs. x = 0. Så p = 0 gir ikke noe parabel.

[Guest]

tusen takk, men er grafen til en Parabel gitt ved ax^2+bx+c? eller er den gitt ved ax^2, der brennpunkt må ligge på en akse? eller kan det liksom være en hvilken som helst annengradsfunksjon ?

Raske svar takk ! tent. i morgen!

[Solar Plexsus]

Du har rett i at en parabel i xy-planet er gitt ved likningen y = ax[sup]2[/sup] + bx + c der a [symbol:ikke_lik] 0, b og c er konstanter. Denne funksjonen kan omskrives til

y = a(x + b/2a)[sup]2[/sup] + c - b[sup]2[/sup]/(4a).

Dette betyr at parabelens akse er parabelens symmetriakse x = -b/(2a). På denne vertikale aksen ligger også parabelens brennpunkt/fokus og toppunkt/vertex (-b/2a, c - b[sup]2[/sup]/(4a)).

[ingen]

Hei!
Jeg har samme forberedelsesdel som deg, men jeg har flere oppgaver. Skjønner ingenting.

d) Vis at parabelen med brennpunkt (0,6) og styrelinje y= 2 er gitt ved:
y= 1/8*¨x^2 + 4

e) Vis at parabelen y = 1/4 * x^2-2 har brennpunktet (0,1) og styrelinja y=-3

Kan noen hjelpe meg litt fort??