Basis og dimensjon

[Guest]

Jeg skal finne basisen og dimensjonen til løsningsrommet til systemet
x+y+z=0
3x+2y-2z=0
4x+3y-z=0
6x+5y+z=0

Satte opp som matrise og Gausset, kom da frem til,

Code: Select all

1 1 1 0
0 1 5 0
0 0 0 0
0 0 0 0

Hva sier dette meg med tanke på spørsmålet i oppgaven? Er dimensjonen 2 og basisen enten de to radvektorene eller de tre søylevektorene?

[Solar Plexsus]

Trekker du rad I fra rad II og setter den resulterende raden i rad 1, får du

Code: Select all

-1 0 4 0
 0 1 5 0
 0 0 0 0
 0 0 0 0

Altså er den lineære likningen ekvivalent med -x + 4z = 0 og y + 5z = 0, i.e. x = 4z og y = -5z. Så løsningen blir (x,y,z) = (4,-5,1)*t, der t er et vilkårlig tall. M.a.o. er {(4,-5,1)} en basis for det endimensjonale løsningsrommet.