Abel maraton

lfe · 16/10-2025 17:08

$\textbf{Påstand:}$ $2\mid a_n$ for $n\geq 3$.
$\textit{Bevis.}$ Vi viser dette med induksjon. Induksjonsgrunnlaget deler vi inn i to tilfeller. Hvis $a_1$ er odde, så er $a_2=1$. Hvis $a_1$ er et partall, så er $a_2= 2$. I begge tilfeller er $a_3\equiv a_1 + a_2 \equiv 0 \pmod 3$. Anta nå at $a_i$ er et partall for $3\leq i < n$. Hvis $2\mid n$, så er $a_n$ en sum av partall utenom $a_2$ og $a_1$, men summen av dem er et partall. Hvis $2\not \mid n$, så er $a_n\equiv n-1 \equiv 0 \pmod 2$. Dermed er induksjonshypotesen vist. $\square$.

La $p$ være et odde primtall. La $f(p)$ være antall $a_i$ slik at $p\mid a_i$, der $i<p$. Vi har at $a_p = p-1-f(p)+p\cdot f(p) = (p-1)(1+f(p))$.
AFMS at det eksisterer en $N$ slik at $\{a_n\}$ er strengt stigende for alle $n\geq N$. For alle $p$ større enn $N$ er $f(p)>0$. Det er fordi $a_{p-1}\geq p-2$, men siden $a_{p-1}$ er et partall, så er $a_{p-1}\geq p-1$, en motsigelse for $f(p)=0$.
La $q$ være et primtall større enn $N$ slik at $q\not \mid \prod_{i=1}^N a_i$. En slik $q$ må eksistere fordi $f(q)=1$ og primfaktorene til $\prod_{i=1}^N a_i$ er endelige. La $k_1<\dots < k_{f(q)}$ være ulike heltall slik at $q\mid a_{k_{i}}$ for $1\leq i\leq f(q)$. Av monotonisiteten og pariteten til følgen er $a_{k_i} \geq 2\cdot i\cdot q$. Vi har da at $a_{k_{f(q)}} \geq 2\cdot f(q)\cdot q> (q-1)(1+f(q))=a_q$, en motsigelse. Dermed blir følgen aldri strengt stigende og det følger at $a_n\geq a_{n+1}$ for uendelig mange $n$. $\blacksquare$

lfe · 16/10-2025 18:06

Vi kaller en konveks mangekant for likevinklet dersom alle vinklene er like. La $P$ være en likevinklet $n$-kant med rasjonale sidelengder. Vis at $n$ er et primtall hvis og bare hvis $P$ må være likesidet.

Lil_Flip39 · 22/10-2025 16:01

Først, anta at $P$ er en likevinklet $p$-kant hvor $p$ er et primtall. Vi viser at sidelengdene til $P$ må være like. La $s_0,s_2\dots ,s_{p-1}$ være sidelengdene til $P$. Vi ser nå på ting i det komplekse planet. Når vi putter $P$ i det komplekse planet har vi da $z_0,z_2\dots z_{p-1}$ hvor $\sum z_i=0$. WLOG $z_0=1$. I tillegg siden $P$ er likevinklet, kan vi finne argumentet til $z_i$. La $\omega = exp(\frac{2i\pi}{p})$, som er en primitiv p-enhetsrot. Merk at hvis vi ser på disse komplekse tallene fra origo, så er de forskjellige med en vinkel av $\frac{2\pi}{p}$, så argumentene til $z_j$ er $\omega^{j}$. Dette kombinert med $\sum z_j=0$ og de rasjonale sidelengdene, får vi \[\sum_{j=0}^{p-1} s_j\omega^j=0\] som betyr at $\omega$ er en rot av \[P(x)=\sum_{j=0}^{p-1} s_jx^j\] Vi vet også av egenskaper ved syklotomiske polynomer at alle polynomer som har heltallige koeffisienter som har $\omega$ som en rot, har $\Phi_p(x)$ som en divisor(vi kan bare gange ut $P(x)$ sine nevnere for å få det til et heltallig polynom). Merk at $P(x)$ og $\Phi_p(x)$ har samme grad, så det må være tilfellet at $P(x)=c\times \Phi_p(x)$ hvor $c$ er et rasjonalt tall. Merk at siden alle koeffisientene til $\Phi_p(x)$ er $1$, følger det at alle koeffisientene til $P(x)$ også må være like, så vi er ferdige.

Hvis $n$ ikke er primtall, så kan vi velge en divisor av $n$ $d\neq 1$. Hvis vi da velger en $d+2$ kant som har $d-1$ vinkler av $\frac{(n-2)d}{n}$, også $2$ andre vinkler og en vinkel av størrelse $\frac{360d}{n}$ som står motsatt på de $d-1$ vinklene av størrelse $\frac{(n-2)d}{n}$, så kan man rotere denne formen med en fiksert vinkel $\frac{n}{d}$ ganger for å få en $n-gon$ som
har like vinkler. Man kan gjøre litt lett algebra for å verifisere at vinklene funker, og dette ble gjort av Thorbeam.

Lil_Flip39 · 22/10-2025 16:03

Each cell of an $m\times n$ board is filled with some nonnegative integer. Two numbers in the filling are said to be adjacent if their cells share a common side. (Note that two numbers in cells that share only a corner are not adjacent). The filling is called a garden if it satisfies the following two conditions:

(i) The difference between any two adjacent numbers is either $0$ or $1$.
(ii) If a number is less than or equal to all of its adjacent numbers, then it is equal to $0$.

Determine the number of distinct gardens in terms of $m$ and $n$.