Abel maraton

[Lil_Flip39]

Let $a_0,a_1,\dots,a_{2024}$ be real numbers such that $\left|a_{i+1}-a_i\right| \le 1$ for $i=0,1,\dots,2023$.
a) Find the minimum possible value of $$a_0a_1+a_1a_2+\dots+a_{2023}a_{2024}$$
b) Does there exist a real number $C$ such that $$a_0a_1-a_1a_2+a_2a_3-a_3a_4+\dots+a_{2022}a_{2023}-a_{2023}a_{2024} \ge C$$ for all real numbers $a_0,a_1,\dots,a_{2024}$ such that $\left|a_{i+1}-a_i\right| \le 1$ for $i=0,1,\dots,2023$.

[guessthefunction]

a) Minimumet er $-506$.

Vi finner først den minste mulige verdien av $a_ia_{1+1}$ der $0\le i\le 2023$. La $a_{i+1}=a_i-c$ der $-1\le c\le 1$. Deretter må vi minimere $a_i(a_i-c)=a_i^2-a_ic$. Ved å fullføre kvadratet kan vi omskrive uttrykket til $(a_i-\dfrac{c}{2})^2-\dfrac{c^2}{4}$. Minimumet av dette er tydeligvis minimumet av $-\dfrac{c^2}{4}$, som er $-\dfrac{1}{4}$. Nå ser vi at det absolutt mulige minimumet av uttrykket er $-\dfrac{1}{4}\cdot 2024=-506$.

Vi viser nå at det er mulig å ha $a_0a_1 + a_1a_2\dots a_{2023}a_{2024}=-506$. La $a_x=\dfrac{1}{2}$ og $a_y=-\dfrac{1}{2}$ hvor $0\le x,y\le 2024$, $x$ er partall og $y$ er oddetall. Da ser vi at dette minimumet er oppnådd.

b) Ingen slik $C$ finnes.

La $a_x=a_0-2$ for partall x hvor $0<x\le 2024$ og la $a_y=a_0-1$ for oddetall y hvor $0<y\le 2024$. Da er alle leddene i uttrykket lik $(a_0-1)(a_0-2)$ unntatt det første, som er lik $a_0(a_0-1)$. Dermed kansellerer alle leddene bortsett fra de to første hverandre, og vi får $a_0(a_0-1)-(a_0-1)(a_0-2)$. Men dette kan ikke begrenses. Derfor har uttrykket ikke noe maksimum, så ingen slik $C$ finnes.

[guessthefunction]

Prove that for every positive integer $n$ there exists an $n$-digit number divisible by $5^n$ all of whose digits are odd.

[Lil_Flip39]

Vi bruker induksjon. Åpenbart stemmer påstanden for \(n=1\). Anta nå at \(n=k\) stemmer. La \(m\) være slikat \(5^k\mid m\) og \(m\) har \(k\) siffer. Nå lar vi \(s=l\cdot 10^k+m\), hvor \(l\) er et odde-siffer. Vi vet at \(5^k\mid s\). Hvis vi deler bort \(5^n\), er det mulig å få det resterende utrykket til å være delelig på \(5\) fordi \(1,3,5,7,9\) dekker alle restklassende \(\pmod 5\). Dermed får vi at vi kan velge \(l\) slik at \(5^{k+1}\mid s\). I tillegg er det åpenbart at \(s\) har \(k+1\) siffer og har bare odde \(siffer\). Da er vi ferdige med induksjonsteget, og vi er også ferdige med oppgaven.

[Lil_Flip39]

Let $ABC$ be a triangle. Consider the points $D,E,F$ as the feet of the altitudes from $A,B,C,$ respectively, and $H$ its orthocenter which we suppose is the midpoint of $CF$. Let $M$ be the midpoint of $BC$, $N$ be the midpoint of $BE$, and $X=(AN)\cap(MF).$ \\ Prove that $\angle HXM=90^\circ$.