Har to bevis jeg lurer på:
1) Prove that if u and v are vectors in a complex inner product space, then |<u,v>| _< <u,u><v,v>
2) Prove that the entries on the main diagonal of a Hermitian matrix are real numbers.
Komplekse vektorrom - to bevis
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
1) Dette er Cauchy-Schwarz' ulikhet for komplekse indreproduktrom. Et (kortfattet) bevis finner du ved å klikke på lenken
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Schwarz_inequality
2) Anta at d er et element på hoveddiagonalen til en hermitisk matrise A. Da er A = A*, der A* er matrisen som fremkommer ved å transponere og konjungere elementene i A. Transponering har ingen innvirkning på hoveddiagonalen, så A = A* innebærer at
[tex]d \:=\: \overline{d}[/tex]
Re(d) + Im(d) = Re(d) - Im(d)
Im(d) = 0
[tex]d \in {\bf R}. \;\;[/tex] q.e.d.
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Schwarz_inequality
2) Anta at d er et element på hoveddiagonalen til en hermitisk matrise A. Da er A = A*, der A* er matrisen som fremkommer ved å transponere og konjungere elementene i A. Transponering har ingen innvirkning på hoveddiagonalen, så A = A* innebærer at
[tex]d \:=\: \overline{d}[/tex]
Re(d) + Im(d) = Re(d) - Im(d)
Im(d) = 0
[tex]d \in {\bf R}. \;\;[/tex] q.e.d.