Integrasjon

[hans]

Hei, kan nokon hjelpa meg med denne oppgåva? Hadde vore fint om de kunne forklare litt hva dykk gjer...

[symbol:integral] (2x-1/x)^2 dx

[ingentingg]

Først kvadrerer man ut:

[tex]\int \left( 2x-\frac1x \right)^2 dx = \int \left(4x^2 - 4x \cdot - \frac1x + \frac1{x^2} \right) dx = \int \left( 4x^2 +4+\frac1{x^2} \right) dx[/tex]

Deretter integrerer man bit for bit, og får dette som svar::

[tex] \frac43 x^3 + 4x - \frac1x[/tex]

[Toppris]

Hei, kan nokon hjelpa meg med denne oppgåva? Hadde vore fint om de kunne forklare litt hva dykk gjer...

[symbol:integral] (2x-1/x)^2 dx

I akkurat denne typen oppgaver så er det enklest å gange ut utrykket:
[tex](2x-\frac{1}{x})^2=4x^2-4+\frac{1}{x^2}[/tex]

[tex]\int{(2x-\frac{1}{x})^2}dx=\int{4x^2}dx-\int{4}dx+\int{\frac{1}{x^2}}dx\\\ \int{(2x-\frac{1}{x})^2}dx=\frac{4x^3}{3}-4x-\frac{1}{x}+C[/tex]

[hans]

Ein ting til under same tema. Eg fekk hjelp av læraren til å øyse denne oppgåva:

[symbol:integral] (3x-1)^2 dx

Då trång eg ikkje ganga ut parantesen. Eg måtte berre integrere utanfor fyst. Og deretter dele på derivasjonen av 3x-1. Trur dette har noko med kjerneregelen å gjere, kvifor kunne eg ikkje gjere det på den andre oppgåva?

[ingentingg]

Fordi kjernen 3x-1 er "enkel" siden det bare er 3x
I det andre eksempelet er det x i nevneren, og da blir det mye verre.

[Toppris]

Ein ting til under same tema. Eg fekk hjelp av læraren til å øyse denne oppgåva:

[symbol:integral] (3x-1)^2 dx

Då trång eg ikkje ganga ut parantesen. Eg måtte berre integrere utanfor fyst. Og deretter dele på derivasjonen av 3x-1. Trur dette har noko med kjerneregelen å gjere, kvifor kunne eg ikkje gjere det på den andre oppgåva?

I all hovedsak så bør/kan en ikke bruke substitusjon dersom den deriverte av kjernen inneholder variabelen som du bytter ut(i dette tilfellet x). Det finnes selvfølgelig unntak, og det er når en ved å utføre substitusjonen får fjernet variabelen som byttes ut.
F.eks.

[tex]\int{\frac{2x}{x^2-1}}[/tex]

Her kan vi si at u= x[sup]2[/sup]-1 og da vil [tex]\frac{du}{dx}=2x[/tex]
Dette medfører at [tex]dx=\frac{du}{2x}[/tex].

Får da:
[tex]\int{\frac{2x}{x^2-1}}dx=\int{\frac{2x}{u}*\frac{du}{2x}=\int{\frac{1}{u }du}[/tex]

Håper det hjalp litt.