3MX: Omdreiningslegeme

[Guest]

Hei, jeg hadde blitt særs takknemlig om noen kunne hjelpe meg med å regne ut følgende oppgave (vha. 3MX-kunnskaper):

En graf er gitt ved

f(x) = sinx [symbol:rot] (1 - cosx), der x tilhører intervallet [0, [symbol:pi] /2]

Finn volumet av det omdreiningslegemet som framkommer når grafen dreies 360 grader om x-aksen.

[Bequita]

Fordi f(x) da kan sees på som radius i en sirkel rundt x-aksen, og dx da blir høyden i en uendelig liten skive av dette omdreiningslegemet, blir:

V = Ah = [symbol:pi] [sub]0[/sub][sup][symbol:pi]/2[/sup][symbol:integral] (f(x))[sup]2[/sup] dx

Så det du må gjøre er rett og slett å opphøye hele funksjonsuttrykket i annen og integrere mellom de aktuelle grensene.

[Bequita]

Og (f(x))[sup]2[/sup] = sin[sup]2[/sup]x(1 - cosx), dermed må en finne
[symbol:pi] [symbol:integral] sin[sup]2[/sup]x(1 - cosx)dx
=[symbol:pi] [symbol:integral] (1/2 - 1/2 cos 2x) dx -[symbol:pi] [symbol:integral] sin[sup]2[/sup]x cosx dx

Bruker substitusjon.
For det første integralet: u = 2x, du/dx = 2, du = 2 dx
For det andre integralet: u = sinx, du/dx = - cosx, du = cos x dx

Så V = [symbol:pi] [symbol:integral] (1/2 - 1/2 cos u (1/2 du) - [symbol:pi] [symbol:integral] u[sup]2[/sup] du (mellom 0 og [symbol:pi]/2)

= [symbol:pi](1/2x + 1/2 cosx sinx - 1/3 sin[sup]3[/sup]x) (Mellom 0 og [symbol:pi]/2)

[Guest]

Ok, tusen takk for raskt svar.

Skal regne nå, og se om jeg får det til!

[Bequita]

Heia deg, håper du får det til å gå opp.

[Guest]

Joda, fikk den til nå, men det hadde visstnok gått meg hus forbi at sin[sup]2[/sup]x kan skrives som 0,5 - 0,5cos(2x)...