Vektorer

[Guest]

Vi har gitt punktene A = (2,1), B = (12,5) og C = (9,-2).

En rett linje l går gjennom A og B.

a) Finn en en retningsvektor for l.

b) Finn en parameterfremstilling for l.

Vi vil finne parameterfremstillingen til den rette linja m som går gjennom C og er vinkelrett på l.

d) Finn en retningsvektor for m.

e) Bestem en parameterfremstilling for m.

f) Hva er den minste avstanden fra C til l.

[Guest]

Ifølge fasiten blir svarene følgende:

a) For eksempel [-2,5]
b) For eksempel x = 5t + 2, y = 2t + 1

d) For eksempel [5,2]

e) For eksempel x = -25 + 9, y = 5t -2

f) [symbol:rot] 29

Noen som kan begrunne disse svarene?

[Guest]

Men retningsvektoren kan liksåvel være lik AB =[12 - 2, 5-1] = [10,4] ?

[gjest]

a) Skal finne en retningsvektor til linja l gjennom A og B. Vektoren fra A til B blir da en retningsvektor for denne.
AB vektor= X2-X1,Y2-Y1=12-2,5-1=10,4/2=5,2
b) skal sette opp en parameterfremstilling for l:
Her benytter en seg av vektorlikningen for en rett linje:
OPvektor=OP1vektor+t*v
OP1 vektor er en vektor fra origo til et punkt P på linja l, i ditt tilfelle blir dette OP1vektor=X2-X1,Y2-Y1=2-0,1-0=2,1,som punkt p har jeg brukt punktet A. t er en parameter som du ganger med retningsvektoren v i dette tilfellet blir retnings vektoren v= AB vektor
Altså kan du skrive uttrykket ditt sånn:
OPvektor=OAvektor+t*ABvektor
=[2,1]+t*[5,2]
som på parameterform gir:
X=5t+2
Y=2t+1
Dette var alt jeg hadde tid til så langt, håper jeg var til hjelp

[Guest]

Men den minste avstanden får jeg fortsatt ikke til å bli kvadratroten av 29.

[Lord X]

Jeg tror jeg fikk det til. Jeg bare regnet ut skjæringspunktet mellom grafene, som var (7,3). Siden linjene ligger vinkelrett på hverandre, vil avstanden fra dette punktet(la oss kalle det S) til C være den minste mulige avstanden fra C til linjen l.

(Understreket tekst=vektor)

SC = [9-7, -2-3] =[2,-5]

Absoluttverdien/lengden av SC = kv.rot. av ( 2^2 + (-5)^2 )= kv.rot av 4+25 = kv.rot av 29

[tosken]

Hvordan klarte du å regne ut at skjæringspunktet ble 9,7?

[Lord X]

Jeg sa ikke det ble (9,7), men (7,3).

l: x=5t + 2 og y=2t+1

m: x=-2s+9 og y=5s-2

Altså er:

(I) 5t+2=-2s+9 og (II) 2t+1=5s-2

av (II) har vi at: 2t=5s-3 => t=(5s-3)/2. Vi setter dette inn i (I) og får at:

5((5s-3)/2) +2=-2s+9

(25s-15)/2+2=-2s+9 Vi multipliserer med to i alle ledd.

25s-15+4=-4s+18

25s+4s=18+15-4

29s=29

s=1

Vi setter dette inn i f.eks. (I) og får at:

5t+2=-2*1+9=7

5t=5

t=1

Skjæringspunkt:

x=5t+2=5*1+2 =7 og y=2t+1=2*1+1=3

Som kontroll kan vi også bruke s:

x=-2s+9=-2*1+9=7 og y=5s-2=5*1-2=3

Altså er skjæringspunktet (7,3)