Rot-fields og Sylow-teorem

[agadius]

Hei

Jeg har et problem med å forstå noe i en fasit her. Jeg gjengir oppgaven, så det fasiten sier og så det jeg ikke forstår.

Oppgaven

La K være rot-fieldet til x[sup]5[/sup] - 1, la L være rot-fieldet til x[sup]5[/sup] - 5. La Q være de rasjonelle tall. La Gal(X/Q) være galois utvidelsen til X over Q.

Vi har gitt at [L:Q]=20, [K:Q]=4, [L:K]=5.


Finn alle subfields K' av L, slik at [K':Q]=4

Løsningen

K' svarer entydig til en indeks 4 subgruppe av Gal(L/Q), dvs en Sylow 5-subgruppe av Gal(L/Q), fra 1b) (en tidligere oppgave som viste at vi bare har 1 Sylow 5-gruppe for |G|=20) følger det at K'=K

Mitt problem

Hvorfor er K' isomorfisk til en Sylow 5-subgruppe (som har orden 5)? Jeg skulle mene at når [K':Q] = 4, så er |Gal(K'/Q)| = 4 og K' er isomorfisk til en Sylow 2-subgruppe?

På forhånd takk for hjelpen!

Mvh. Egil A. Martinsen