Invertere matrise ved hjelp av kofaktor

[Ginging]

Hvordan inverterer jeg denne matrisen ved å bruke kofaktor?

2 1 0 2
1 0 -3 6
-4 0 4 8
1 9 4 2

Håper virkelig på hjelp. Er litt desperat egentlig!

Ginging

[Janhaa]

I denne oppgaven må du selv skrive opp matrisene etterhvert som de etableres. Og regne ut A[sup]-1[/sup]

Kaller (4x4) Matrisen for A, og det(A)= -816.

Altså her må de 16 ulike kofaktorer bestemmes. F. eks. vil
kofaktor, C[sub]11[/sub] = -432. Dette kalles kofaktorekspansjon (Cramer's rule).
Bestemmer kofaktor C[sub]11[/sub] ved å stryke 1. rad (horisontal) og 1. kolonne (vertikal) i (4x4) matrisen, og vi står igjen med (3x3) matrisen, hvis determinant er lik -432.
Dvs C[sub]11[/sub] er lik determinant til (3x3) matrisen som "er igjen".
Tilsvarende utføres på de andre matrisene og kofaktorene bestemmes.
Kofaktorene er:

C[sub]12[/sub]=-192, C[sub]13[/sub]=-288, C[sub]14[/sub]=72,

C[sub]21[/sub]=-96, C[sub]22[/sub]=-88,
C[sub]23[/sub]=-200, C[sub]24[/sub]=-52,

C[sub]31[/sub]=24, C[sub]32[/sub]=-46, C[sub]33[/sub]=-86
C[sub]34[/sub]=47,

C[sub]41[/sub]=-48, C[sub]42[/sub]=-112,
C[sub]43[/sub]=-32, C[sub]44[/sub]=8.

Jeg setter ikke disse kofaktorene på matriseform,
fordi de forskyves etc. Og da er matrisen ikke lett å lese.
Men matrisen til kofaktorene skrives som:

C[sub]11[/sub] til C[sub]14[/sub] som 1. rad
C[sub]21[/sub] til C[sub]24[/sub] som 2. rad
C[sub]31[/sub] til C[sub]34[/sub] som 3. rad
C[sub]41[/sub] til C[sub]44[/sub] som 4. rad

Dernest uttrykker vi matrisen på en noe annen form,
adj(A) som er lik adjoint(A) hvor den er lik:

C[sub]11[/sub] til C[sub]14[/sub] som 1. kolonne
C[sub]21[/sub] til C[sub]24[/sub] som 2. kolonne
C[sub]31[/sub] til C[sub]34[/sub] som 3. kolonne
C[sub]41[/sub] til C[sub]44[/sub] som 4. kolonne

Og til slutt er A sin inverse matrise, A[sup]-1[/sup] lik

A[sup]-1[/sup] = (1/det(A))* adj(A)

[Ginging]

Takk skal du ha.... D hjelper virkelig, men hvordan er formelen? Hvordan finner du frem til at C11 er det svaret du gir? Er det ved (1)1+1 opplegget?

[Janhaa]

Altså som jeg forklarer i svaret, kofaktor C[sub]11[/sub] fremkommer ved å stryke 1. rad og stryke 1. kolonne i (4x4) matrisen. (Den som du oppga).
Da står du igjen med en (3x3) matrise. Kall den gjerne B. Du må da finne determinanten til B. Slå opp i læreboka og se. Og ja der eksisterer formel for determinant til (3x3) matrise, bare følg eksempelet i læreboka di.

Jeg har gjort dette "fort og gæli", og håper utregnende determinanter er riktige. Tar forbehold om feil.

Dette blir veldig mye jobb, siden 16 ulike (3x3) matriser sine determinanter skal bestemmes.
Og som sagt disse determinanter tilsvarer de ulike kofaktorer

Er du lat - kan matrisene mates inn på kalkis og determinanter bestemmes der. Bare hold tunga rett i munnen, lett å gjøre feil (taste inn feil tall,. evt regne feil for hånd).
Hvis jeg skal forklare nøyaktig utregningen på determinant til matrise,
må jeg skrive den opp.
Og det er dessverre vanskelig her.
Mulig noen andre har bedre oversikt mhp verktøyet (likninger, matriser etc) og kan forklare bedre.

[armar-sa]

Hei!

Er adjoint det samme som å transponere?

Altså: C11, C12, C13, C14 blir C11, C21, C31, C41

Eller sagt annerledes: Rekke 1 blir kolonne 1?

[Janhaa]

a)
JA, adjoint betyr å transponere.

b)
Ikke riktig: C11, C12, C13 og C14 er horisontal,
mens den transponerte blir C11, C12, C13 og C14 vertikal.
Som overfører rekke 1 til kolonne 1.

Husk at C[sub]11[/sub] etc er kofaktorer...

[Erniac]