Avgjør om rekken er absolutt konvergent, betinget konvergent eller divergent.
a)
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (-1)[sup]n[/sup]( [symbol:rot] (n+1)-( [symbol:rot] n))
n=0
b)
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] ((-10)[sup]n[/sup])/n!
n=0
c)
[symbol:uendelig]
[symbol:sum] (-1)[sup]n+1[/sup])/(n [symbol:rot] 2)
n=1
Rekker
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
a) Her er
[tex]a_n \;=\; \frac{(-1)^n}{\sqrt{n \:+\: 1} \:-\: \sqrt{n}} \;=\; \frac{(-1)^n(\sqrt{n \:+\: 1} \:+\: \sqrt{n})}{(\sqrt{n \:+\: 1} \:-\: \sqrt{n})(\sqrt{n \:+\: 1} \:+\: \sqrt{n})} \;=\; \frac{(-1)^n(\sqrt{n \:+\: 1} \:+\: \sqrt{n})}{(n \:+\: 1) \:-\: n} \;=\; (-1)^n(\sqrt{n \:+\: 1} \:+\: \sqrt{n}),[/tex]
hvilket betyr at [tex]\lim_{n \rightarrow \infty} \, |a_n| \;=\; \infty. \;[/tex] Altså er rekken [tex]\sum_{n=0}^{\infty} a_n[/tex] divergent.
b) La [tex]a_n = 10^n/n!.[/tex] Da har vi at [tex]\lim_{n \rightarrow \infty} \, a_n \;=\; 0[/tex] og [tex]a_n \; > \; a_{n \:+\: 1}[/tex] når [tex]n \geq 10[/tex]. Følgelig er rekken [tex]\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \, a_n[/tex] konvergent.
c) La [tex]a_n = \frac{1}{n\sqrt{2}}. \;[/tex] Dette gir [tex]\sum_{n=1}^{\infty} a_n \;=\; \infty, \; \lim_{n \rightarrow \infty} \, a_n \;=\; 0[/tex] og [tex]a_n \; > \; a_{n \:+\: 1}[/tex] når [tex]n > 0[/tex]. Følgelig er rekken [tex]\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \, a_n[/tex] betinget konvergent.
[tex]a_n \;=\; \frac{(-1)^n}{\sqrt{n \:+\: 1} \:-\: \sqrt{n}} \;=\; \frac{(-1)^n(\sqrt{n \:+\: 1} \:+\: \sqrt{n})}{(\sqrt{n \:+\: 1} \:-\: \sqrt{n})(\sqrt{n \:+\: 1} \:+\: \sqrt{n})} \;=\; \frac{(-1)^n(\sqrt{n \:+\: 1} \:+\: \sqrt{n})}{(n \:+\: 1) \:-\: n} \;=\; (-1)^n(\sqrt{n \:+\: 1} \:+\: \sqrt{n}),[/tex]
hvilket betyr at [tex]\lim_{n \rightarrow \infty} \, |a_n| \;=\; \infty. \;[/tex] Altså er rekken [tex]\sum_{n=0}^{\infty} a_n[/tex] divergent.
b) La [tex]a_n = 10^n/n!.[/tex] Da har vi at [tex]\lim_{n \rightarrow \infty} \, a_n \;=\; 0[/tex] og [tex]a_n \; > \; a_{n \:+\: 1}[/tex] når [tex]n \geq 10[/tex]. Følgelig er rekken [tex]\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \, a_n[/tex] konvergent.
c) La [tex]a_n = \frac{1}{n\sqrt{2}}. \;[/tex] Dette gir [tex]\sum_{n=1}^{\infty} a_n \;=\; \infty, \; \lim_{n \rightarrow \infty} \, a_n \;=\; 0[/tex] og [tex]a_n \; > \; a_{n \:+\: 1}[/tex] når [tex]n > 0[/tex]. Følgelig er rekken [tex]\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \, a_n[/tex] betinget konvergent.